Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18403 / 15332
↖ ↑ ↗
← N 11.480025°
E 22.181396°		 ← 1 197.20 m → N 11.480025°
E 22.192383°		 →
↑
1 197.24 m
↓
↑
1 197.24 m
↓
N 11.469258°
E 22.181396°		 ← 1 197.24 m →
1 433 360 m²		 N 11.469258°
E 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561630249023438 y=0.467910766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561630249023438 × 215)
    floor (0.561630249023438 × 32768)
    floor (18403.5)     		tx = 18403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467910766601562 × 215)
    floor (0.467910766601562 × 32768)
    floor (15332.5)     		ty = 15332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18403 / 15332 ti = "15/18403/15332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18403/15332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18403 ÷ 215
    18403 ÷ 32768     		x = 0.561614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15332 ÷ 215
    15332 ÷ 32768     		y = 0.4678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561614990234375 × 2 - 1) × π
    0.12322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38713840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4678955078125 × 2 - 1) × π
    0.064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.201718473601196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38713840} λ = 0.38713840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201718473601196))-π/2
    2×atan(1.22350351108373)-π/2
    2×0.885580277558325-π/2
    1.77116055511665-1.57079632675     		φ = 0.20036423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38713840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.181396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20036423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.480025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18403 KachelY 15332 0.38713840 0.20036423 22.181396 11.480025
    Oben rechts KachelX + 1 18404 KachelY 15332 0.38733015 0.20036423 22.192383 11.480025
    Unten links KachelX 18403 KachelY + 1 15333 0.38713840 0.20017631 22.181396 11.469258
    Unten rechts KachelX + 1 18404 KachelY + 1 15333 0.38733015 0.20017631 22.192383 11.469258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20036423-0.20017631) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dl = 1197.23832000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20036423-0.20017631) × R
    0.000187920000000008 × 6371000     		dr = 1197.23832000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38713840-0.38733015) × cos(0.20036423) × R
    0.000191749999999991 × 0.979994151502959 × 6371000     		do = 1197.1993202464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38713840-0.38733015) × cos(0.20017631) × R
    0.000191749999999991 × 0.98003153521892 × 6371000     		du = 1197.24498966113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20036423)-sin(0.20017631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979994151502959-0.98003153521892)×R²
    abs(0.38733015-0.38713840)×3.73837159608481e-05×R²
    0.000191749999999991×3.73837159608481e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.73837159608481e-05×40589641000000     		ar = 1433360.24568194m²