Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1840 / 978
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 18.281250°		 ← 3 649.43 m → N 68.073305°
W 18.193359°		 →
↑
3 652.05 m
↓
↑
3 652.05 m
↓
N 68.040461°
W 18.281250°		 ← 3 654.63 m →
13 337 380 m²		 N 68.040461°
W 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4493408203125 y=0.2388916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4493408203125 × 212)
    floor (0.4493408203125 × 4096)
    floor (1840.5)     		tx = 1840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2388916015625 × 212)
    floor (0.2388916015625 × 4096)
    floor (978.5)     		ty = 978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1840 / 978 ti = "12/1840/978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1840/978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1840 ÷ 212
    1840 ÷ 4096     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 978 ÷ 212
    978 ÷ 4096     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1840 KachelY 978 -0.31906800 1.18810330 -18.281250 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 1841 KachelY 978 -0.31753402 1.18810330 -18.193359 68.073305
    Unten links KachelX 1840 KachelY + 1 979 -0.31906800 1.18753007 -18.281250 68.040461
    Unten rechts KachelX + 1 1841 KachelY + 1 979 -0.31753402 1.18753007 -18.193359 68.040461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18753007) × R
    0.000573230000000091 × 6371000     		dl = 3652.04833000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18753007) × R
    0.000573230000000091 × 6371000     		dr = 3652.04833000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31753402) × cos(1.18810330) × R
    0.00153398000000005 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 3649.42904067249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31753402) × cos(1.18753007) × R
    0.00153398000000005 × 0.373951742627355 × 6371000     		du = 3654.62536226486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18753007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373951742627355)×R²
    abs(-0.31753402--0.31906800)×0.000531702519985522×R²
    0.00153398000000005×0.000531702519985522×6371000²
    0.00153398000000005×0.000531702519985522×40589641000000     		ar = 13337380.2074516m²