Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1840 / 1872
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E143.437500°		 ← 2 882.91 m → S 81.518272°
E143.613281°		 →
↑
2 878.55 m
↓
↑
2 878.55 m
↓
S 81.544159°
E143.437500°		 ← 2 874.18 m →
8 286 026 m²		 S 81.544159°
E143.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.898681640625 y=0.914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.898681640625 × 211)
    floor (0.898681640625 × 2048)
    floor (1840.5)     		tx = 1840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914306640625 × 211)
    floor (0.914306640625 × 2048)
    floor (1872.5)     		ty = 1872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1840 / 1872 ti = "11/1840/1872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1840/1872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1840 ÷ 211
    1840 ÷ 2048     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1872 ÷ 211
    1872 ÷ 2048     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1840 KachelY 1872 2.50345665 -1.42276224 143.437500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 1841 KachelY 1872 2.50652461 -1.42276224 143.613281 -81.518272
    Unten links KachelX 1840 KachelY + 1 1873 2.50345665 -1.42321406 143.437500 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 1841 KachelY + 1 1873 2.50652461 -1.42321406 143.613281 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42321406) × R
    0.000451820000000103 × 6371000     		dl = 2878.54522000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42321406) × R
    0.000451820000000103 × 6371000     		dr = 2878.54522000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.50652461) × cos(-1.42276224) × R
    0.00306796000000009 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 2882.91389878946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.50652461) × cos(-1.42321406) × R
    0.00306796000000009 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 2874.17893118717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.147047113370081)×R²
    abs(2.50652461-2.50345665)×0.0004468934614201×R²
    0.00306796000000009×0.0004468934614201×6371000²
    0.00306796000000009×0.0004468934614201×40589641000000     		ar = 8286026.16438361m²