Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1840 / 1326
↖ ↑ ↗
← N 76.372620°
W 99.140625°		 ← 1 151.29 m → N 76.372620°
W 99.096680°		 →
↑
1 151.75 m
↓
↑
1 151.75 m
↓
N 76.362262°
W 99.140625°		 ← 1 152.15 m →
1 326 492 m²		 N 76.362262°
W 99.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22467041015625 y=0.16192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22467041015625 × 213)
    floor (0.22467041015625 × 8192)
    floor (1840.5)     		tx = 1840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16192626953125 × 213)
    floor (0.16192626953125 × 8192)
    floor (1326.5)     		ty = 1326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1840 / 1326 ti = "13/1840/1326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1840/1326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1840 ÷ 213
    1840 ÷ 8192     		x = 0.224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1326 ÷ 213
    1326 ÷ 8192     		y = 0.161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224609375 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    0.67626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12456339116089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73033033} λ = -1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12456339116089))-π/2
    2×atan(8.36924260501017)-π/2
    2×1.45187499755894-π/2
    2.90374999511787-1.57079632675     		φ = 1.33295367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33295367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.372620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1840 KachelY 1326 -1.73033033 1.33295367 -99.140625 76.372620
    Oben rechts KachelX + 1 1841 KachelY 1326 -1.72956334 1.33295367 -99.096680 76.372620
    Unten links KachelX 1840 KachelY + 1 1327 -1.73033033 1.33277289 -99.140625 76.362262
    Unten rechts KachelX + 1 1841 KachelY + 1 1327 -1.72956334 1.33277289 -99.096680 76.362262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33295367-1.33277289) × R
    0.000180779999999992 × 6371000     		dl = 1151.74937999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33295367-1.33277289) × R
    0.000180779999999992 × 6371000     		dr = 1151.74937999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73033033--1.72956334) × cos(1.33295367) × R
    0.000766990000000023 × 0.235606565523478 × 6371000     		do = 1151.28990151045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73033033--1.72956334) × cos(1.33277289) × R
    0.000766990000000023 × 0.235782252448032 × 6371000     		du = 1152.14839448843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33295367)-sin(1.33277289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235606565523478-0.235782252448032)×R²
    abs(-1.72956334--1.73033033)×0.000175686924553858×R²
    0.000766990000000023×0.000175686924553858×6371000²
    0.000766990000000023×0.000175686924553858×40589641000000     		ar = 1326491.81825355m²