Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18397 / 22578
↖ ↑ ↗
← N 75.462727°
W129.471130°		 ← 76.66 m → N 75.462727°
W129.468384°		 →
↑
76.71 m
↓
↑
76.71 m
↓
N 75.462037°
W129.471130°		 ← 76.67 m →
5 881 m²		 N 75.462037°
W129.468384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140361785888672 y=0.172260284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140361785888672 × 217)
    floor (0.140361785888672 × 131072)
    floor (18397.5)     		tx = 18397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172260284423828 × 217)
    floor (0.172260284423828 × 131072)
    floor (22578.5)     		ty = 22578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18397 / 22578 ti = "17/18397/22578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18397/22578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18397 ÷ 217
    18397 ÷ 131072     		x = 0.140357971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22578 ÷ 217
    22578 ÷ 131072     		y = 0.172256469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140357971191406 × 2 - 1) × π
    -0.719284057617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.25969751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172256469726562 × 2 - 1) × π
    0.655487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05927333387837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25969751} λ = -2.25969751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05927333387837))-π/2
    2×atan(7.84027048087158)-π/2
    2×1.44393468189381-π/2
    2.88786936378761-1.57079632675     		φ = 1.31707304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25969751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.471130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31707304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.462727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18397 KachelY 22578 -2.25969751 1.31707304 -129.471130 75.462727
    Oben rechts KachelX + 1 18398 KachelY 22578 -2.25964957 1.31707304 -129.468384 75.462727
    Unten links KachelX 18397 KachelY + 1 22579 -2.25969751 1.31706100 -129.471130 75.462037
    Unten rechts KachelX + 1 18398 KachelY + 1 22579 -2.25964957 1.31706100 -129.468384 75.462037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31707304-1.31706100) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dl = 76.706839999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31707304-1.31706100) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dr = 76.706839999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25969751--2.25964957) × cos(1.31707304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25100977488275 × 6371000     		do = 76.6648462407472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25969751--2.25964957) × cos(1.31706100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251021429398563 × 6371000     		du = 76.6684058298635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31707304)-sin(1.31706100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25100977488275-0.251021429398563)×R²
    abs(-2.25964957--2.25969751)×1.16545158123094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16545158123094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16545158123094e-05×40589641000000     		ar = 5880.85461681636m²