Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18395 / 19180
↖ ↑ ↗
← S 29.343875°
E 22.093506°		 ← 1 064.90 m → S 29.343875°
E 22.104492°		 →
↑
1 064.85 m
↓
↑
1 064.85 m
↓
S 29.353452°
E 22.093506°		 ← 1 064.80 m →
1 133 900 m²		 S 29.353452°
E 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561386108398438 y=0.585342407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561386108398438 × 215)
    floor (0.561386108398438 × 32768)
    floor (18395.5)     		tx = 18395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585342407226562 × 215)
    floor (0.585342407226562 × 32768)
    floor (19180.5)     		ty = 19180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18395 / 19180 ti = "15/18395/19180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18395/19180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18395 ÷ 215
    18395 ÷ 32768     		x = 0.561370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19180 ÷ 215
    19180 ÷ 32768     		y = 0.5853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561370849609375 × 2 - 1) × π
    0.12274169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38560442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.536126285350708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38560442} λ = 0.38560442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536126285350708))-π/2
    2×atan(0.585010030729745)-π/2
    2×0.529324542896722-π/2
    1.05864908579344-1.57079632675     		φ = -0.51214724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38560442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.093506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51214724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.343875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18395 KachelY 19180 0.38560442 -0.51214724 22.093506 -29.343875
    Oben rechts KachelX + 1 18396 KachelY 19180 0.38579617 -0.51214724 22.104492 -29.343875
    Unten links KachelX 18395 KachelY + 1 19181 0.38560442 -0.51231438 22.093506 -29.353452
    Unten rechts KachelX + 1 18396 KachelY + 1 19181 0.38579617 -0.51231438 22.104492 -29.353452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51214724--0.51231438) × R
    0.000167139999999955 × 6371000     		dl = 1064.84893999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51214724--0.51231438) × R
    0.000167139999999955 × 6371000     		dr = 1064.84893999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38560442-0.38579617) × cos(-0.51214724) × R
    0.000191749999999991 × 0.87169426278523 × 6371000     		do = 1064.8959254182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38560442-0.38579617) × cos(-0.51231438) × R
    0.000191749999999991 × 0.87161234363417 × 6371000     		du = 1064.79584976794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51214724)-sin(-0.51231438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87169426278523-0.87161234363417)×R²
    abs(0.38579617-0.38560442)×8.19191510602613e-05×R²
    0.000191749999999991×8.19191510602613e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.19191510602613e-05×40589641000000     		ar = 1133900.01730652m²