Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1839 / 977
↖ ↑ ↗
← N 68.106101°
W 18.369140°		 ← 3 644.24 m → N 68.106101°
W 18.281250°		 →
↑
3 646.82 m
↓
↑
3 646.82 m
↓
N 68.073305°
W 18.369140°		 ← 3 649.43 m →
13 299 363 m²		 N 68.073305°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4490966796875 y=0.2386474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4490966796875 × 212)
    floor (0.4490966796875 × 4096)
    floor (1839.5)     		tx = 1839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2386474609375 × 212)
    floor (0.2386474609375 × 4096)
    floor (977.5)     		ty = 977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1839 / 977 ti = "12/1839/977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1839/977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1839 ÷ 212
    1839 ÷ 4096     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 977 ÷ 212
    977 ÷ 4096     		y = 0.238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238525390625 × 2 - 1) × π
    0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64289342377856))-π/2
    2×atan(5.17010720239646)-π/2
    2×1.37973601949042-π/2
    2.75947203898084-1.57079632675     		φ = 1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1839 KachelY 977 -0.32060198 1.18867571 -18.369140 68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 1840 KachelY 977 -0.31906800 1.18867571 -18.281250 68.106101
    Unten links KachelX 1839 KachelY + 1 978 -0.32060198 1.18810330 -18.369140 68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 1840 KachelY + 1 978 -0.31906800 1.18810330 -18.281250 68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18867571-1.18810330) × R
    0.000572409999999968 × 6371000     		dl = 3646.82410999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18867571-1.18810330) × R
    0.000572409999999968 × 6371000     		dr = 3646.82410999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.18867571) × R
    0.00153397999999999 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 3644.23895576364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.18810330) × R
    0.00153397999999999 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 3649.42904067236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18867571)-sin(1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.373420040107369)×R²
    abs(-0.31906800--0.32060198)×0.000531064364637179×R²
    0.00153397999999999×0.000531064364637179×6371000²
    0.00153397999999999×0.000531064364637179×40589641000000     		ar = 13299362.5130009m²