Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1839 / 970
↖ ↑ ↗
← N 68.334376°
W 18.369140°		 ← 3 608.08 m → N 68.334376°
W 18.281250°		 →
↑
3 610.64 m
↓
↑
3 610.64 m
↓
N 68.301905°
W 18.369140°		 ← 3 613.23 m →
13 036 764 m²		 N 68.301905°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4490966796875 y=0.2369384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4490966796875 × 212)
    floor (0.4490966796875 × 4096)
    floor (1839.5)     		tx = 1839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2369384765625 × 212)
    floor (0.2369384765625 × 4096)
    floor (970.5)     		ty = 970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1839 / 970 ti = "12/1839/970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1839/970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1839 ÷ 212
    1839 ÷ 4096     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 970 ÷ 212
    970 ÷ 4096     		y = 0.23681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23681640625 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65363128929346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65363128929346))-π/2
    2×atan(5.22592224916964)-π/2
    2×1.38172808962421-π/2
    2.76345617924841-1.57079632675     		φ = 1.19265985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19265985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.334376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1839 KachelY 970 -0.32060198 1.19265985 -18.369140 68.334376
    Oben rechts KachelX + 1 1840 KachelY 970 -0.31906800 1.19265985 -18.281250 68.334376
    Unten links KachelX 1839 KachelY + 1 971 -0.32060198 1.19209312 -18.369140 68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 1840 KachelY + 1 971 -0.31906800 1.19209312 -18.281250 68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19265985-1.19209312) × R
    0.000566730000000071 × 6371000     		dl = 3610.63683000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19265985-1.19209312) × R
    0.000566730000000071 × 6371000     		dr = 3610.63683000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.19265985) × R
    0.00153397999999999 × 0.369189238265422 × 6371000     		do = 3608.08147104837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.19209312) × R
    0.00153397999999999 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 3613.22825427597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19265985)-sin(1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369189238265422-0.369715871877928)×R²
    abs(-0.31906800--0.32060198)×0.000526633612506267×R²
    0.00153397999999999×0.000526633612506267×6371000²
    0.00153397999999999×0.000526633612506267×40589641000000     		ar = 13036763.7764785m²