Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1839 / 1245
↖ ↑ ↗
← N 57.468589°
W 18.369140°		 ← 5 255.54 m → N 57.468589°
W 18.281250°		 →
↑
5 258.94 m
↓
↑
5 258.94 m
↓
N 57.421295°
W 18.369140°		 ← 5 262.34 m →
27 656 459 m²		 N 57.421295°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4490966796875 y=0.3040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4490966796875 × 212)
    floor (0.4490966796875 × 4096)
    floor (1839.5)     		tx = 1839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3040771484375 × 212)
    floor (0.3040771484375 × 4096)
    floor (1245.5)     		ty = 1245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1839 / 1245 ti = "12/1839/1245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1839/1245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1839 ÷ 212
    1839 ÷ 4096     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1245 ÷ 212
    1245 ÷ 4096     		y = 0.303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303955078125 × 2 - 1) × π
    0.39208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23178657263696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23178657263696))-π/2
    2×atan(3.4273472746287)-π/2
    2×1.28690621232698-π/2
    2.57381242465395-1.57079632675     		φ = 1.00301610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00301610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.468589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1839 KachelY 1245 -0.32060198 1.00301610 -18.369140 57.468589
    Oben rechts KachelX + 1 1840 KachelY 1245 -0.31906800 1.00301610 -18.281250 57.468589
    Unten links KachelX 1839 KachelY + 1 1246 -0.32060198 1.00219065 -18.369140 57.421295
    Unten rechts KachelX + 1 1840 KachelY + 1 1246 -0.31906800 1.00219065 -18.281250 57.421295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00301610-1.00219065) × R
    0.000825450000000005 × 6371000     		dl = 5258.94195000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00301610-1.00219065) × R
    0.000825450000000005 × 6371000     		dr = 5258.94195000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.00301610) × R
    0.00153397999999999 × 0.53776189155363 × 6371000     		do = 5255.53974938901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.31906800) × cos(1.00219065) × R
    0.00153397999999999 × 0.538457642488981 × 6371000     		du = 5262.33931394321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00301610)-sin(1.00219065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53776189155363-0.538457642488981)×R²
    abs(-0.31906800--0.32060198)×0.000695750935350792×R²
    0.00153397999999999×0.000695750935350792×6371000²
    0.00153397999999999×0.000695750935350792×40589641000000     		ar = 27656459.2859395m²