Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18388 / 22555
↖ ↑ ↗
← N 75.478575°
W129.495849°		 ← 76.57 m → N 75.478575°
W129.493103°		 →
↑
76.58 m
↓
↑
76.58 m
↓
N 75.477886°
W129.495849°		 ← 76.57 m →
5 864 m²		 N 75.477886°
W129.493103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140293121337891 y=0.172084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140293121337891 × 217)
    floor (0.140293121337891 × 131072)
    floor (18388.5)     		tx = 18388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172084808349609 × 217)
    floor (0.172084808349609 × 131072)
    floor (22555.5)     		ty = 22555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18388 / 22555 ti = "17/18388/22555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18388/22555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18388 ÷ 217
    18388 ÷ 131072     		x = 0.140289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22555 ÷ 217
    22555 ÷ 131072     		y = 0.172080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.71942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.26012894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172080993652344 × 2 - 1) × π
    0.655838012695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.06037588256963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26012894} λ = -2.26012894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06037588256963))-π/2
    2×atan(7.84891952795101)-π/2
    2×1.4440729833288-π/2
    2.88814596665761-1.57079632675     		φ = 1.31734964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26012894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.495849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31734964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.478575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18388 KachelY 22555 -2.26012894 1.31734964 -129.495849 75.478575
    Oben rechts KachelX + 1 18389 KachelY 22555 -2.26008101 1.31734964 -129.493103 75.478575
    Unten links KachelX 18388 KachelY + 1 22556 -2.26012894 1.31733762 -129.495849 75.477886
    Unten rechts KachelX + 1 18389 KachelY + 1 22556 -2.26008101 1.31733762 -129.493103 75.477886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31734964-1.31733762) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dl = 76.5794200000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31734964-1.31733762) × R
    1.20200000000015e-05 × 6371000     		dr = 76.5794200000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26012894--2.26008101) × cos(1.31734964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250742020757008 × 6371000     		do = 76.567092464709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26012894--2.26008101) × cos(1.31733762) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.250753656747304 × 6371000     		du = 76.5706456543269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31734964)-sin(1.31733762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250742020757008-0.250753656747304)×R²
    abs(-2.26008101--2.26012894)×1.16359902962437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16359902962437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16359902962437e-05×40589641000000     		ar = 5863.59958264187m²