Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18385 / 19026
↖ ↑ ↗
← S 27.858504°
E 21.983642°		 ← 1 080.06 m → S 27.858504°
E 21.994629°		 →
↑
1 080.01 m
↓
↑
1 080.01 m
↓
S 27.868217°
E 21.983642°		 ← 1 079.96 m →
1 166 422 m²		 S 27.868217°
E 21.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561080932617188 y=0.580642700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561080932617188 × 215)
    floor (0.561080932617188 × 32768)
    floor (18385.5)     		tx = 18385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580642700195312 × 215)
    floor (0.580642700195312 × 32768)
    floor (19026.5)     		ty = 19026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18385 / 19026 ti = "15/18385/19026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18385/19026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18385 ÷ 215
    18385 ÷ 32768     		x = 0.561065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19026 ÷ 215
    19026 ÷ 32768     		y = 0.58062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561065673828125 × 2 - 1) × π
    0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38368694} λ = 0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506597155184753))-π/2
    2×atan(0.602542452701183)-π/2
    2×0.542286854057928-π/2
    1.08457370811586-1.57079632675     		φ = -0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18385 KachelY 19026 0.38368694 -0.48622262 21.983642 -27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 18386 KachelY 19026 0.38387869 -0.48622262 21.994629 -27.858504
    Unten links KachelX 18385 KachelY + 1 19027 0.38368694 -0.48639214 21.983642 -27.868217
    Unten rechts KachelX + 1 18386 KachelY + 1 19027 0.38387869 -0.48639214 21.994629 -27.868217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48622262--0.48639214) × R
    0.000169519999999979 × 6371000     		dl = 1080.01191999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48622262--0.48639214) × R
    0.000169519999999979 × 6371000     		dr = 1080.01191999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38368694-0.38387869) × cos(-0.48622262) × R
    0.000191750000000046 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 1080.05650466548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38368694-0.38387869) × cos(-0.48639214) × R
    0.000191750000000046 × 0.884025064738971 × 6371000     		du = 1079.95971706918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48622262)-sin(-0.48639214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.884025064738971)×R²
    abs(0.38387869-0.38368694)×7.9227641306745e-05×R²
    0.000191750000000046×7.9227641306745e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.9227641306745e-05×40589641000000     		ar = 1166421.63622623m²