Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18380 / 19140
↖ ↑ ↗
← S 28.960089°
E 21.928711°		 ← 1 068.83 m → S 28.960089°
E 21.939697°		 →
↑
1 068.80 m
↓
↑
1 068.80 m
↓
S 28.969701°
E 21.928711°		 ← 1 068.73 m →
1 142 307 m²		 S 28.969701°
E 21.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560928344726562 y=0.584121704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560928344726562 × 215)
    floor (0.560928344726562 × 32768)
    floor (18380.5)     		tx = 18380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584121704101562 × 215)
    floor (0.584121704101562 × 32768)
    floor (19140.5)     		ty = 19140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18380 / 19140 ti = "15/18380/19140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18380/19140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18380 ÷ 215
    18380 ÷ 32768     		x = 0.5609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19140 ÷ 215
    19140 ÷ 32768     		y = 0.5841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5609130859375 × 2 - 1) × π
    0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38272821} λ = 0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528456381411499))-π/2
    2×atan(0.589514252863498)-π/2
    2×0.532673713766414-π/2
    1.06534742753283-1.57079632675     		φ = -0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18380 KachelY 19140 0.38272821 -0.50544890 21.928711 -28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 18381 KachelY 19140 0.38291995 -0.50544890 21.939697 -28.960089
    Unten links KachelX 18380 KachelY + 1 19141 0.38272821 -0.50561666 21.928711 -28.969701
    Unten rechts KachelX + 1 18381 KachelY + 1 19141 0.38291995 -0.50561666 21.939697 -28.969701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50544890--0.50561666) × R
    0.000167760000000072 × 6371000     		dl = 1068.79896000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50544890--0.50561666) × R
    0.000167760000000072 × 6371000     		dr = 1068.79896000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38272821-0.38291995) × cos(-0.50544890) × R
    0.000191739999999996 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 1068.82632029055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38272821-0.38291995) × cos(-0.50561666) × R
    0.000191739999999996 × 0.874875963347861 × 6371000     		du = 1068.72707735966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50544890)-sin(-0.50561666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.874875963347861)×R²
    abs(0.38291995-0.38272821)×8.12417469410187e-05×R²
    0.000191739999999996×8.12417469410187e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.12417469410187e-05×40589641000000     		ar = 1142307.42685591m²