Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1838 / 1182
↖ ↑ ↗
← N 60.326948°
W 18.457032°		 ← 4 838.15 m → N 60.326948°
W 18.369140°		 →
↑
4 841.39 m
↓
↑
4 841.39 m
↓
N 60.283408°
W 18.457032°		 ← 4 844.60 m →
23 438 969 m²		 N 60.283408°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4488525390625 y=0.2886962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4488525390625 × 212)
    floor (0.4488525390625 × 4096)
    floor (1838.5)     		tx = 1838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2886962890625 × 212)
    floor (0.2886962890625 × 4096)
    floor (1182.5)     		ty = 1182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1838 / 1182 ti = "12/1838/1182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1838/1182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1838 ÷ 212
    1838 ÷ 4096     		x = 0.44873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1182 ÷ 212
    1182 ÷ 4096     		y = 0.28857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28857421875 × 2 - 1) × π
    0.4228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.328427362271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32213597} λ = -0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.328427362271))-π/2
    2×atan(3.7751018492507)-π/2
    2×1.31185009628499-π/2
    2.62370019256998-1.57079632675     		φ = 1.05290387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05290387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.326948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1838 KachelY 1182 -0.32213597 1.05290387 -18.457032 60.326948
    Oben rechts KachelX + 1 1839 KachelY 1182 -0.32060198 1.05290387 -18.369140 60.326948
    Unten links KachelX 1838 KachelY + 1 1183 -0.32213597 1.05214396 -18.457032 60.283408
    Unten rechts KachelX + 1 1839 KachelY + 1 1183 -0.32060198 1.05214396 -18.369140 60.283408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05290387-1.05214396) × R
    0.000759909999999975 × 6371000     		dl = 4841.38660999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05290387-1.05214396) × R
    0.000759909999999975 × 6371000     		dr = 4841.38660999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32213597--0.32060198) × cos(1.05290387) × R
    0.00153398999999999 × 0.495050069276937 × 6371000     		do = 4838.14922311145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32213597--0.32060198) × cos(1.05214396) × R
    0.00153398999999999 × 0.495710185059438 × 6371000     		du = 4844.60056785105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05290387)-sin(1.05214396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495050069276937-0.495710185059438)×R²
    abs(-0.32060198--0.32213597)×0.00066011578250097×R²
    0.00153398999999999×0.00066011578250097×6371000²
    0.00153398999999999×0.00066011578250097×40589641000000     		ar = 23438968.7209022m²