Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18378 / 19146
↖ ↑ ↗
← S 29.017748°
E 21.906738°		 ← 1 068.29 m → S 29.017748°
E 21.917725°		 →
↑
1 068.23 m
↓
↑
1 068.23 m
↓
S 29.027355°
E 21.906738°		 ← 1 068.19 m →
1 141 118 m²		 S 29.027355°
E 21.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560867309570312 y=0.584304809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560867309570312 × 215)
    floor (0.560867309570312 × 32768)
    floor (18378.5)     		tx = 18378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584304809570312 × 215)
    floor (0.584304809570312 × 32768)
    floor (19146.5)     		ty = 19146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18378 / 19146 ti = "15/18378/19146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18378/19146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18378 ÷ 215
    18378 ÷ 32768     		x = 0.56085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19146 ÷ 215
    19146 ÷ 32768     		y = 0.58428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56085205078125 × 2 - 1) × π
    0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.1685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.52960686700238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38234471} λ = 0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52960686700238))-π/2
    2×atan(0.588836415205955)-π/2
    2×0.532170541185659-π/2
    1.06434108237132-1.57079632675     		φ = -0.50645524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50645524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.017748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18378 KachelY 19146 0.38234471 -0.50645524 21.906738 -29.017748
    Oben rechts KachelX + 1 18379 KachelY 19146 0.38253646 -0.50645524 21.917725 -29.017748
    Unten links KachelX 18378 KachelY + 1 19147 0.38234471 -0.50662291 21.906738 -29.027355
    Unten rechts KachelX + 1 18379 KachelY + 1 19147 0.38253646 -0.50662291 21.917725 -29.027355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50645524--0.50662291) × R
    0.000167670000000064 × 6371000     		dl = 1068.22557000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50645524--0.50662291) × R
    0.000167670000000064 × 6371000     		dr = 1068.22557000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38234471-0.38253646) × cos(-0.50645524) × R
    0.000191750000000046 × 0.87446949204665 × 6371000     		do = 1068.28625441201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38234471-0.38253646) × cos(-0.50662291) × R
    0.000191750000000046 × 0.874388146304751 × 6371000     		du = 1068.18687926088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50645524)-sin(-0.50662291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87446949204665-0.874388146304751)×R²
    abs(0.38253646-0.38234471)×8.13457418995522e-05×R²
    0.000191750000000046×8.13457418995522e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.13457418995522e-05×40589641000000     		ar = 1141117.61817721m²