Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18375 / 19142
↖ ↑ ↗
← S 28.979312°
E 21.873779°		 ← 1 068.68 m → S 28.979312°
E 21.884766°		 →
↑
1 068.61 m
↓
↑
1 068.61 m
↓
S 28.988922°
E 21.873779°		 ← 1 068.58 m →
1 141 951 m²		 S 28.988922°
E 21.884766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560775756835938 y=0.584182739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560775756835938 × 215)
    floor (0.560775756835938 × 32768)
    floor (18375.5)     		tx = 18375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584182739257812 × 215)
    floor (0.584182739257812 × 32768)
    floor (19142.5)     		ty = 19142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18375 / 19142 ti = "15/18375/19142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18375/19142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18375 ÷ 215
    18375 ÷ 32768     		x = 0.560760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19142 ÷ 215
    19142 ÷ 32768     		y = 0.58416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560760498046875 × 2 - 1) × π
    0.12152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38176947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38176947} λ = 0.38176947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528839876608459))-π/2
    2×atan(0.589288220322952)-π/2
    2×0.532505958402244-π/2
    1.06501191680449-1.57079632675     		φ = -0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38176947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.873779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18375 KachelY 19142 0.38176947 -0.50578441 21.873779 -28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 18376 KachelY 19142 0.38196122 -0.50578441 21.884766 -28.979312
    Unten links KachelX 18375 KachelY + 1 19143 0.38176947 -0.50595214 21.873779 -28.988922
    Unten rechts KachelX + 1 18376 KachelY + 1 19143 0.38196122 -0.50595214 21.884766 -28.988922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50578441--0.50595214) × R
    0.000167730000000033 × 6371000     		dl = 1068.60783000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50578441--0.50595214) × R
    0.000167730000000033 × 6371000     		dr = 1068.60783000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38176947-0.38196122) × cos(-0.50578441) × R
    0.000191749999999991 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 1068.68354344002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38176947-0.38196122) × cos(-0.50595214) × R
    0.000191749999999991 × 0.874713425375888 × 6371000     		du = 1068.58425294108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50578441)-sin(-0.50595214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874713425375888)×R²
    abs(0.38196122-0.38176947)×8.12764479698469e-05×R²
    0.000191749999999991×8.12764479698469e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.12764479698469e-05×40589641000000     		ar = 1141950.55368756m²