Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18373 / 19164
↖ ↑ ↗
← S 29.190533°
E 21.851806°		 ← 1 066.49 m → S 29.190533°
E 21.862793°		 →
↑
1 066.44 m
↓
↑
1 066.44 m
↓
S 29.200124°
E 21.851806°		 ← 1 066.39 m →
1 137 301 m²		 S 29.200124°
E 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560714721679688 y=0.584854125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560714721679688 × 215)
    floor (0.560714721679688 × 32768)
    floor (18373.5)     		tx = 18373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584854125976562 × 215)
    floor (0.584854125976562 × 32768)
    floor (19164.5)     		ty = 19164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18373 / 19164 ti = "15/18373/19164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18373/19164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18373 ÷ 215
    18373 ÷ 32768     		x = 0.560699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19164 ÷ 215
    19164 ÷ 32768     		y = 0.5848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560699462890625 × 2 - 1) × π
    0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38138597} λ = 0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533058323775024))-π/2
    2×atan(0.586807575013879)-π/2
    2×0.530662709236576-π/2
    1.06132541847315-1.57079632675     		φ = -0.50947091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50947091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.190533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18373 KachelY 19164 0.38138597 -0.50947091 21.851806 -29.190533
    Oben rechts KachelX + 1 18374 KachelY 19164 0.38157772 -0.50947091 21.862793 -29.190533
    Unten links KachelX 18373 KachelY + 1 19165 0.38138597 -0.50963830 21.851806 -29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 18374 KachelY + 1 19165 0.38157772 -0.50963830 21.862793 -29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50947091--0.50963830) × R
    0.000167389999999989 × 6371000     		dl = 1066.44168999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50947091--0.50963830) × R
    0.000167389999999989 × 6371000     		dr = 1066.44168999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38138597-0.38157772) × cos(-0.50947091) × R
    0.000191749999999991 × 0.873002675176854 × 6371000     		do = 1066.49433335099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38138597-0.38157772) × cos(-0.50963830) × R
    0.000191749999999991 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 1066.39458538968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50947091)-sin(-0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873002675176854-0.872921024262875)×R²
    abs(0.38157772-0.38138597)×8.16509139792698e-05×R²
    0.000191749999999991×8.16509139792698e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.16509139792698e-05×40589641000000     		ar = 1137300.83419747m²