Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18373 / 19149
↖ ↑ ↗
← S 29.046566°
E 21.851806°		 ← 1 067.99 m → S 29.046566°
E 21.862793°		 →
↑
1 067.91 m
↓
↑
1 067.91 m
↓
S 29.056170°
E 21.851806°		 ← 1 067.89 m →
1 140 459 m²		 S 29.056170°
E 21.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560714721679688 y=0.584396362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560714721679688 × 215)
    floor (0.560714721679688 × 32768)
    floor (18373.5)     		tx = 18373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584396362304688 × 215)
    floor (0.584396362304688 × 32768)
    floor (19149.5)     		ty = 19149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18373 / 19149 ti = "15/18373/19149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18373/19149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18373 ÷ 215
    18373 ÷ 32768     		x = 0.560699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19149 ÷ 215
    19149 ÷ 32768     		y = 0.584381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560699462890625 × 2 - 1) × π
    0.12139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38138597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.16876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530182109797821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38138597} λ = 0.38138597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530182109797821))-π/2
    2×atan(0.588497788705979)-π/2
    2×0.531919060147464-π/2
    1.06383812029493-1.57079632675     		φ = -0.50695821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38138597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.851806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50695821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.046566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18373 KachelY 19149 0.38138597 -0.50695821 21.851806 -29.046566
    Oben rechts KachelX + 1 18374 KachelY 19149 0.38157772 -0.50695821 21.862793 -29.046566
    Unten links KachelX 18373 KachelY + 1 19150 0.38138597 -0.50712583 21.851806 -29.056170
    Unten rechts KachelX + 1 18374 KachelY + 1 19150 0.38157772 -0.50712583 21.862793 -29.056170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50695821--0.50712583) × R
    0.000167620000000035 × 6371000     		dl = 1067.90702000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50695821--0.50712583) × R
    0.000167620000000035 × 6371000     		dr = 1067.90702000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38138597-0.38157772) × cos(-0.50695821) × R
    0.000191749999999991 × 0.874225400498429 × 6371000     		do = 1067.9880625958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38138597-0.38157772) × cos(-0.50712583) × R
    0.000191749999999991 × 0.874144005306976 × 6371000     		du = 1067.88862703516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50695821)-sin(-0.50712583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874225400498429-0.874144005306976)×R²
    abs(0.38157772-0.38138597)×8.13951914532263e-05×R²
    0.000191749999999991×8.13951914532263e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.13951914532263e-05×40589641000000     		ar = 1140458.85802627m²