Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18372 / 22464
↖ ↑ ↗
← N 75.541112°
W129.539795°		 ← 76.24 m → N 75.541112°
W129.537049°		 →
↑
76.20 m
↓
↑
76.20 m
↓
N 75.540427°
W129.539795°		 ← 76.25 m →
5 810 m²		 N 75.540427°
W129.537049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140171051025391 y=0.171390533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140171051025391 × 217)
    floor (0.140171051025391 × 131072)
    floor (18372.5)     		tx = 18372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171390533447266 × 217)
    floor (0.171390533447266 × 131072)
    floor (22464.5)     		ty = 22464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18372 / 22464 ti = "17/18372/22464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18372/22464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18372 ÷ 217
    18372 ÷ 131072     		x = 0.140167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22464 ÷ 217
    22464 ÷ 131072     		y = 0.17138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.71966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26089593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17138671875 × 2 - 1) × π
    0.6572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06473814043506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26089593} λ = -2.26089593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06473814043506))-π/2
    2×atan(7.88323332730353)-π/2
    2×1.4446187307668-π/2
    2.8892374615336-1.57079632675     		φ = 1.31844113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26089593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.539795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31844113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.541112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18372 KachelY 22464 -2.26089593 1.31844113 -129.539795 75.541112
    Oben rechts KachelX + 1 18373 KachelY 22464 -2.26084800 1.31844113 -129.537049 75.541112
    Unten links KachelX 18372 KachelY + 1 22465 -2.26089593 1.31842917 -129.539795 75.540427
    Unten rechts KachelX + 1 18373 KachelY + 1 22465 -2.26084800 1.31842917 -129.537049 75.540427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31844113-1.31842917) × R
    1.19600000001441e-05 × 6371000     		dl = 76.1971600009179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31844113-1.31842917) × R
    1.19600000001441e-05 × 6371000     		dr = 76.1971600009179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26089593--2.26084800) × cos(1.31844113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249685250406381 × 6371000     		do = 76.2443949251975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26089593--2.26084800) × cos(1.31842917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249696831580041 × 6371000     		du = 76.2479313758961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31844113)-sin(1.31842917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249685250406381-0.249696831580041)×R²
    abs(-2.26084800--2.26089593)×1.1581173659958e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1581173659958e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1581173659958e-05×40589641000000     		ar = 5809.74109299842m²