Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18371 / 34369
↖ ↑ ↗
← S  8.760224°
W 79.085083°		 ← 603.73 m → S  8.760224°
W 79.079590°		 →
↑
603.65 m
↓
↑
603.65 m
↓
S  8.765653°
W 79.085083°		 ← 603.72 m →
364 438 m²		 S  8.765653°
W 79.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280326843261719 y=0.524436950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280326843261719 × 216)
    floor (0.280326843261719 × 65536)
    floor (18371.5)     		tx = 18371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524436950683594 × 216)
    floor (0.524436950683594 × 65536)
    floor (34369.5)     		ty = 34369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18371 / 34369 ti = "16/18371/34369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18371/34369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18371 ÷ 216
    18371 ÷ 65536     		x = 0.280319213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34369 ÷ 216
    34369 ÷ 65536     		y = 0.524429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.439361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38029509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.048858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38029509} λ = -1.38029509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15349395258342))-π/2
    2×atan(0.857705951088334)-π/2
    2×0.708950788922437-π/2
    1.41790157784487-1.57079632675     		φ = -0.15289475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38029509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.085083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15289475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.760224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18371 KachelY 34369 -1.38029509 -0.15289475 -79.085083 -8.760224
    Oben rechts KachelX + 1 18372 KachelY 34369 -1.38019921 -0.15289475 -79.079590 -8.760224
    Unten links KachelX 18371 KachelY + 1 34370 -1.38029509 -0.15298950 -79.085083 -8.765653
    Unten rechts KachelX + 1 18372 KachelY + 1 34370 -1.38019921 -0.15298950 -79.079590 -8.765653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15289475--0.15298950) × R
    9.47500000000046e-05 × 6371000     		dl = 603.652250000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15289475--0.15298950) × R
    9.47500000000046e-05 × 6371000     		dr = 603.652250000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38029509--1.38019921) × cos(-0.15289475) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.988334349767135 × 6371000     		do = 603.725500289696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38029509--1.38019921) × cos(-0.15298950) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.98831991492967 × 6371000     		du = 603.716682747867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15289475)-sin(-0.15298950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988334349767135-0.98831991492967)×R²
    abs(-1.38019921--1.38029509)×1.44348374651049e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44348374651049e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44348374651049e-05×40589641000000     		ar = 364437.595540401m²