Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18371 / 22597
↖ ↑ ↗
← N 75.449622°
W129.542541°		 ← 76.73 m → N 75.449622°
W129.539795°		 →
↑
76.77 m
↓
↑
76.77 m
↓
N 75.448931°
W129.542541°		 ← 76.74 m →
5 891 m²		 N 75.448931°
W129.539795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140163421630859 y=0.172405242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140163421630859 × 217)
    floor (0.140163421630859 × 131072)
    floor (18371.5)     		tx = 18371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172405242919922 × 217)
    floor (0.172405242919922 × 131072)
    floor (22597.5)     		ty = 22597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18371 / 22597 ti = "17/18371/22597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18371/22597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18371 ÷ 217
    18371 ÷ 131072     		x = 0.140159606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22597 ÷ 217
    22597 ÷ 131072     		y = 0.172401428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140159606933594 × 2 - 1) × π
    -0.719680786132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.26094387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172401428222656 × 2 - 1) × π
    0.655197143554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.05836253278559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26094387} λ = -2.26094387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05836253278559))-π/2
    2×atan(7.83313280494484)-π/2
    2×1.44382032149982-π/2
    2.88764064299965-1.57079632675     		φ = 1.31684432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26094387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.542541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31684432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.449622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18371 KachelY 22597 -2.26094387 1.31684432 -129.542541 75.449622
    Oben rechts KachelX + 1 18372 KachelY 22597 -2.26089593 1.31684432 -129.539795 75.449622
    Unten links KachelX 18371 KachelY + 1 22598 -2.26094387 1.31683227 -129.542541 75.448931
    Unten rechts KachelX + 1 18372 KachelY + 1 22598 -2.26089593 1.31683227 -129.539795 75.448931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31684432-1.31683227) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dl = 76.7705500002624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31684432-1.31683227) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dr = 76.7705500002624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26094387--2.26089593) × cos(1.31684432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251231165742037 × 6371000     		do = 76.732464707774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26094387--2.26089593) × cos(1.31683227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251242829245541 × 6371000     		du = 76.7360270419628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31684432)-sin(1.31683227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251231165742037-0.251242829245541)×R²
    abs(-2.26089593--2.26094387)×1.16635035045665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16635035045665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16635035045665e-05×40589641000000     		ar = 5890.93025966993m²