Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18371 / 19147
↖ ↑ ↗
← S 29.027355°
E 21.829834°		 ← 1 068.19 m → S 29.027355°
E 21.840821°		 →
↑
1 068.16 m
↓
↑
1 068.16 m
↓
S 29.036961°
E 21.829834°		 ← 1 068.09 m →
1 140 943 m²		 S 29.036961°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560653686523438 y=0.584335327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560653686523438 × 215)
    floor (0.560653686523438 × 32768)
    floor (18371.5)     		tx = 18371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584335327148438 × 215)
    floor (0.584335327148438 × 32768)
    floor (19147.5)     		ty = 19147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18371 / 19147 ti = "15/18371/19147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18371/19147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18371 ÷ 215
    18371 ÷ 32768     		x = 0.560638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19147 ÷ 215
    19147 ÷ 32768     		y = 0.584320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560638427734375 × 2 - 1) × π
    0.12127685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38100248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.16864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529798614600861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38100248} λ = 0.38100248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529798614600861))-π/2
    2×atan(0.588723518061665)-π/2
    2×0.53208670637266-π/2
    1.06417341274532-1.57079632675     		φ = -0.50662291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38100248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50662291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.027355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18371 KachelY 19147 0.38100248 -0.50662291 21.829834 -29.027355
    Oben rechts KachelX + 1 18372 KachelY 19147 0.38119423 -0.50662291 21.840821 -29.027355
    Unten links KachelX 18371 KachelY + 1 19148 0.38100248 -0.50679057 21.829834 -29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 18372 KachelY + 1 19148 0.38119423 -0.50679057 21.840821 -29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50662291--0.50679057) × R
    0.000167660000000014 × 6371000     		dl = 1068.16186000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50662291--0.50679057) × R
    0.000167660000000014 × 6371000     		dr = 1068.16186000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38100248-0.38119423) × cos(-0.50662291) × R
    0.000191750000000046 × 0.874388146304751 × 6371000     		do = 1068.18687926088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38100248-0.38119423) × cos(-0.50679057) × R
    0.000191750000000046 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 1068.08748000909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50662291)-sin(-0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874388146304751-0.874306780834714)×R²
    abs(0.38119423-0.38100248)×8.13654700362321e-05×R²
    0.000191750000000046×8.13654700362321e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.13654700362321e-05×40589641000000     		ar = 1140943.3992072m²