Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18370 / 34370
↖ ↑ ↗
← S  8.765653°
W 79.090576°		 ← 603.65 m → S  8.765653°
W 79.085083°		 →
↑
603.72 m
↓
↑
603.72 m
↓
S  8.771082°
W 79.090576°		 ← 603.64 m →
364 433 m²		 S  8.771082°
W 79.085083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280311584472656 y=0.524452209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280311584472656 × 216)
    floor (0.280311584472656 × 65536)
    floor (18370.5)     		tx = 18370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524452209472656 × 216)
    floor (0.524452209472656 × 65536)
    floor (34370.5)     		ty = 34370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18370 / 34370 ti = "16/18370/34370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18370/34370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18370 ÷ 216
    18370 ÷ 65536     		x = 0.280303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34370 ÷ 216
    34370 ÷ 65536     		y = 0.524444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.43939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38039096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.15358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38039096} λ = -1.38039096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15358982638266))-π/2
    2×atan(0.857623723501971)-π/2
    2×0.708903411583877-π/2
    1.41780682316775-1.57079632675     		φ = -0.15298950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38039096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15298950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.765653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18370 KachelY 34370 -1.38039096 -0.15298950 -79.090576 -8.765653
    Oben rechts KachelX + 1 18371 KachelY 34370 -1.38029509 -0.15298950 -79.085083 -8.765653
    Unten links KachelX 18370 KachelY + 1 34371 -1.38039096 -0.15308426 -79.090576 -8.771082
    Unten rechts KachelX + 1 18371 KachelY + 1 34371 -1.38029509 -0.15308426 -79.085083 -8.771082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15298950--0.15308426) × R
    9.47599999999993e-05 × 6371000     		dl = 603.715959999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15298950--0.15308426) × R
    9.47599999999993e-05 × 6371000     		dr = 603.715959999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38039096--1.38029509) × cos(-0.15298950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98831991492967 × 6371000     		do = 603.65371688647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38039096--1.38029509) × cos(-0.15308426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.988305469694631 × 6371000     		du = 603.644893913573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15298950)-sin(-0.15308426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98831991492967-0.988305469694631)×R²
    abs(-1.38029509--1.38039096)×1.44452350392399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44452350392399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44452350392399e-05×40589641000000     		ar = 364432.720185589m²