Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18369 / 22603
↖ ↑ ↗
← N 75.445481°
W129.548034°		 ← 76.74 m → N 75.445481°
W129.545288°		 →
↑
76.77 m
↓
↑
76.77 m
↓
N 75.444791°
W129.548034°		 ← 76.74 m →
5 891 m²		 N 75.444791°
W129.545288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140148162841797 y=0.172451019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140148162841797 × 217)
    floor (0.140148162841797 × 131072)
    floor (18369.5)     		tx = 18369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172451019287109 × 217)
    floor (0.172451019287109 × 131072)
    floor (22603.5)     		ty = 22603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18369 / 22603 ti = "17/18369/22603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18369/22603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18369 ÷ 217
    18369 ÷ 131072     		x = 0.140144348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22603 ÷ 217
    22603 ÷ 131072     		y = 0.172447204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140144348144531 × 2 - 1) × π
    -0.719711303710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.26103974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172447204589844 × 2 - 1) × π
    0.655105590820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.05807491138787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26103974} λ = -2.26103974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05807491138787))-π/2
    2×atan(7.83088015231004)-π/2
    2×1.44378418674014-π/2
    2.88756837348029-1.57079632675     		φ = 1.31677205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26103974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.548034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31677205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.445481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18369 KachelY 22603 -2.26103974 1.31677205 -129.548034 75.445481
    Oben rechts KachelX + 1 18370 KachelY 22603 -2.26099181 1.31677205 -129.545288 75.445481
    Unten links KachelX 18369 KachelY + 1 22604 -2.26103974 1.31676000 -129.548034 75.444791
    Unten rechts KachelX + 1 18370 KachelY + 1 22604 -2.26099181 1.31676000 -129.545288 75.444791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31677205-1.31676000) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dl = 76.7705500002624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31677205-1.31676000) × R
    1.20500000000412e-05 × 6371000     		dr = 76.7705500002624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26103974--2.26099181) × cos(1.31677205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251301117178545 × 6371000     		do = 76.7378192829554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26103974--2.26099181) × cos(1.31676000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251312780463229 × 6371000     		du = 76.7413808072429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31677205)-sin(1.31676000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251301117178545-0.251312780463229)×R²
    abs(-2.26099181--2.26103974)×1.16632846834941e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16632846834941e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16632846834941e-05×40589641000000     		ar = 5891.34130231243m²