Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18369 / 22466
↖ ↑ ↗
← N 75.539741°
W129.548034°		 ← 76.25 m → N 75.539741°
W129.545288°		 →
↑
76.32 m
↓
↑
76.32 m
↓
N 75.539055°
W129.548034°		 ← 76.26 m →
5 820 m²		 N 75.539055°
W129.545288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140148162841797 y=0.171405792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140148162841797 × 217)
    floor (0.140148162841797 × 131072)
    floor (18369.5)     		tx = 18369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171405792236328 × 217)
    floor (0.171405792236328 × 131072)
    floor (22466.5)     		ty = 22466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18369 / 22466 ti = "17/18369/22466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18369/22466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18369 ÷ 217
    18369 ÷ 131072     		x = 0.140144348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22466 ÷ 217
    22466 ÷ 131072     		y = 0.171401977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140144348144531 × 2 - 1) × π
    -0.719711303710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.26103974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171401977539062 × 2 - 1) × π
    0.657196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06464226663582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26103974} λ = -2.26103974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06464226663582))-π/2
    2×atan(7.88247756800348)-π/2
    2×1.44460676107463-π/2
    2.88921352214926-1.57079632675     		φ = 1.31841720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26103974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.548034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31841720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.539741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18369 KachelY 22466 -2.26103974 1.31841720 -129.548034 75.539741
    Oben rechts KachelX + 1 18370 KachelY 22466 -2.26099181 1.31841720 -129.545288 75.539741
    Unten links KachelX 18369 KachelY + 1 22467 -2.26103974 1.31840522 -129.548034 75.539055
    Unten rechts KachelX + 1 18370 KachelY + 1 22467 -2.26099181 1.31840522 -129.545288 75.539055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31841720-1.31840522) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dl = 76.3245800001435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31841720-1.31840522) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dr = 76.3245800001435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26103974--2.26099181) × cos(1.31841720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249708422401195 × 6371000     		do = 76.2514707725729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26103974--2.26099181) × cos(1.31840522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249720022869751 × 6371000     		du = 76.2550131152001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31841720)-sin(1.31840522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249708422401195-0.249720022869751)×R²
    abs(-2.26099181--2.26103974)×1.16004685560001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16004685560001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16004685560001e-05×40589641000000     		ar = 5819.99666499579m²