Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18369 / 19137
↖ ↑ ↗
← S 28.931247°
E 21.807861°		 ← 1 069.18 m → S 28.931247°
E 21.818848°		 →
↑
1 069.12 m
↓
↑
1 069.12 m
↓
S 28.940862°
E 21.807861°		 ← 1 069.08 m →
1 143 026 m²		 S 28.940862°
E 21.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560592651367188 y=0.584030151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560592651367188 × 215)
    floor (0.560592651367188 × 32768)
    floor (18369.5)     		tx = 18369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584030151367188 × 215)
    floor (0.584030151367188 × 32768)
    floor (19137.5)     		ty = 19137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18369 / 19137 ti = "15/18369/19137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18369/19137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18369 ÷ 215
    18369 ÷ 32768     		x = 0.560577392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19137 ÷ 215
    19137 ÷ 32768     		y = 0.584014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560577392578125 × 2 - 1) × π
    0.12115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38061898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.16802978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.527881138616058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38061898} λ = 0.38061898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527881138616058))-π/2
    2×atan(0.589853464245365)-π/2
    2×0.532925405220689-π/2
    1.06585081044138-1.57079632675     		φ = -0.50494552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38061898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50494552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.931247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18369 KachelY 19137 0.38061898 -0.50494552 21.807861 -28.931247
    Oben rechts KachelX + 1 18370 KachelY 19137 0.38081073 -0.50494552 21.818848 -28.931247
    Unten links KachelX 18369 KachelY + 1 19138 0.38061898 -0.50511333 21.807861 -28.940862
    Unten rechts KachelX + 1 18370 KachelY + 1 19138 0.38081073 -0.50511333 21.818848 -28.940862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50494552--0.50511333) × R
    0.00016780999999999 × 6371000     		dl = 1069.11750999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50494552--0.50511333) × R
    0.00016780999999999 × 6371000     		dr = 1069.11750999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38061898-0.38081073) × cos(-0.50494552) × R
    0.000191749999999991 × 0.875200830956747 × 6371000     		do = 1069.17968672932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38061898-0.38081073) × cos(-0.50511333) × R
    0.000191749999999991 × 0.875119638908872 × 6371000     		du = 1069.08049933685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50494552)-sin(-0.50511333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875200830956747-0.875119638908872)×R²
    abs(0.38081073-0.38061898)×8.11920478749339e-05×R²
    0.000191749999999991×8.11920478749339e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.11920478749339e-05×40589641000000     		ar = 1143025.70561181m²