Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18368 / 22591
↖ ↑ ↗
← N 75.453761°
W129.550781°		 ← 76.71 m → N 75.453761°
W129.548034°		 →
↑
76.71 m
↓
↑
76.71 m
↓
N 75.453072°
W129.550781°		 ← 76.71 m →
5 884 m²		 N 75.453072°
W129.548034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140140533447266 y=0.172359466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140140533447266 × 217)
    floor (0.140140533447266 × 131072)
    floor (18368.5)     		tx = 18368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172359466552734 × 217)
    floor (0.172359466552734 × 131072)
    floor (22591.5)     		ty = 22591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18368 / 22591 ti = "17/18368/22591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18368/22591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18368 ÷ 217
    18368 ÷ 131072     		x = 0.14013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22591 ÷ 217
    22591 ÷ 131072     		y = 0.172355651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    -0.7197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26108768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172355651855469 × 2 - 1) × π
    0.655288696289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.05865015418331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26108768} λ = -2.26108768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05865015418331))-π/2
    2×atan(7.83538610558394)-π/2
    2×1.44385644620111-π/2
    2.88771289240223-1.57079632675     		φ = 1.31691657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26108768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31691657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.453761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18368 KachelY 22591 -2.26108768 1.31691657 -129.550781 75.453761
    Oben rechts KachelX + 1 18369 KachelY 22591 -2.26103974 1.31691657 -129.548034 75.453761
    Unten links KachelX 18368 KachelY + 1 22592 -2.26108768 1.31690453 -129.550781 75.453072
    Unten rechts KachelX + 1 18369 KachelY + 1 22592 -2.26103974 1.31690453 -129.548034 75.453072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31691657-1.31690453) × R
    1.2040000000102e-05 × 6371000     		dl = 76.7068400006496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31691657-1.31690453) × R
    1.2040000000102e-05 × 6371000     		dr = 76.7068400006496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26108768--2.26103974) × cos(1.31691657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251161232352265 × 6371000     		do = 76.7111052504522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26108768--2.26103974) × cos(1.31690453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251172886395047 × 6371000     		du = 76.7146646950929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31691657)-sin(1.31690453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251161232352265-0.251172886395047)×R²
    abs(-2.26103974--2.26108768)×1.16540427818612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16540427818612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16540427818612e-05×40589641000000     		ar = 5884.4029937456m²