Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18368 / 19392
↖ ↑ ↗
← S 31.353637°
E 21.796875°		 ← 1 043.19 m → S 31.353637°
E 21.807861°		 →
↑
1 043.19 m
↓
↑
1 043.19 m
↓
S 31.363019°
E 21.796875°		 ← 1 043.09 m →
1 088 190 m²		 S 31.363019°
E 21.807861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560562133789062 y=0.591812133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560562133789062 × 215)
    floor (0.560562133789062 × 32768)
    floor (18368.5)     		tx = 18368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591812133789062 × 215)
    floor (0.591812133789062 × 32768)
    floor (19392.5)     		ty = 19392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18368 / 19392 ti = "15/18368/19392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18368/19392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18368 ÷ 215
    18368 ÷ 32768     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19392 ÷ 215
    19392 ÷ 32768     		y = 0.591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591796875 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576776776228516))-π/2
    2×atan(0.561705955857573)-π/2
    2×0.511786064852429-π/2
    1.02357212970486-1.57079632675     		φ = -0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18368 KachelY 19392 0.38042724 -0.54722420 21.796875 -31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 18369 KachelY 19392 0.38061898 -0.54722420 21.807861 -31.353637
    Unten links KachelX 18368 KachelY + 1 19393 0.38042724 -0.54738794 21.796875 -31.363019
    Unten rechts KachelX + 1 18369 KachelY + 1 19393 0.38061898 -0.54738794 21.807861 -31.363019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54722420--0.54738794) × R
    0.000163739999999968 × 6371000     		dl = 1043.18753999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54722420--0.54738794) × R
    0.000163739999999968 × 6371000     		dr = 1043.18753999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38061898) × cos(-0.54722420) × R
    0.000191739999999996 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 1043.19144267614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38061898) × cos(-0.54738794) × R
    0.000191739999999996 × 0.85388690258519 × 6371000     		du = 1043.08735412441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54722420)-sin(-0.54738794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.85388690258519)×R²
    abs(0.38061898-0.38042724)×8.52084446089085e-05×R²
    0.000191739999999996×8.52084446089085e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.52084446089085e-05×40589641000000     		ar = 1088190.02532516m²