Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18366 / 13505
↖ ↑ ↗
← N 30.135626°
E 21.774902°		 ← 1 056.52 m → N 30.135626°
E 21.785889°		 →
↑
1 056.57 m
↓
↑
1 056.57 m
↓
N 30.126124°
E 21.774902°		 ← 1 056.62 m →
1 116 339 m²		 N 30.126124°
E 21.785889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560501098632812 y=0.412155151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560501098632812 × 215)
    floor (0.560501098632812 × 32768)
    floor (18366.5)     		tx = 18366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412155151367188 × 215)
    floor (0.412155151367188 × 32768)
    floor (13505.5)     		ty = 13505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18366 / 13505 ti = "15/18366/13505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18366/13505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18366 ÷ 215
    18366 ÷ 32768     		x = 0.56048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13505 ÷ 215
    13505 ÷ 32768     		y = 0.412139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56048583984375 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38004374} λ = 0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552041336024567))-π/2
    2×atan(1.73679478342938)-π/2
    2×1.04838111333246-π/2
    2.09676222666492-1.57079632675     		φ = 0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18366 KachelY 13505 0.38004374 0.52596590 21.774902 30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 18367 KachelY 13505 0.38023549 0.52596590 21.785889 30.135626
    Unten links KachelX 18366 KachelY + 1 13506 0.38004374 0.52580006 21.774902 30.126124
    Unten rechts KachelX + 1 18367 KachelY + 1 13506 0.38023549 0.52580006 21.785889 30.126124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52596590-0.52580006) × R
    0.000165839999999973 × 6371000     		dl = 1056.56663999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52596590-0.52580006) × R
    0.000165839999999973 × 6371000     		dr = 1056.56663999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38004374-0.38023549) × cos(0.52596590) × R
    0.000191749999999991 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 1056.52177602068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38004374-0.38023549) × cos(0.52580006) × R
    0.000191749999999991 × 0.864922664244018 × 6371000     		du = 1056.62347485501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52596590)-sin(0.52580006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864922664244018)×R²
    abs(0.38023549-0.38004374)×8.32478445099705e-05×R²
    0.000191749999999991×8.32478445099705e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.32478445099705e-05×40589641000000     		ar = 1116339.39133326m²