Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18362 / 22590
↖ ↑ ↗
← N 75.454451°
W129.567261°		 ← 76.69 m → N 75.454451°
W129.564514°		 →
↑
76.71 m
↓
↑
76.71 m
↓
N 75.453761°
W129.567261°		 ← 76.70 m →
5 883 m²		 N 75.453761°
W129.564514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140094757080078 y=0.172351837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140094757080078 × 217)
    floor (0.140094757080078 × 131072)
    floor (18362.5)     		tx = 18362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172351837158203 × 217)
    floor (0.172351837158203 × 131072)
    floor (22590.5)     		ty = 22590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18362 / 22590 ti = "17/18362/22590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18362/22590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18362 ÷ 217
    18362 ÷ 131072     		x = 0.140090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22590 ÷ 217
    22590 ÷ 131072     		y = 0.172348022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140090942382812 × 2 - 1) × π
    -0.719818115234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26137530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172348022460938 × 2 - 1) × π
    0.655303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05869809108293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26137530} λ = -2.26137530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05869809108293))-π/2
    2×atan(7.83576171870396)-π/2
    2×1.44386246600695-π/2
    2.88772493201389-1.57079632675     		φ = 1.31692861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26137530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.567261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31692861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.454451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18362 KachelY 22590 -2.26137530 1.31692861 -129.567261 75.454451
    Oben rechts KachelX + 1 18363 KachelY 22590 -2.26132737 1.31692861 -129.564514 75.454451
    Unten links KachelX 18362 KachelY + 1 22591 -2.26137530 1.31691657 -129.567261 75.453761
    Unten rechts KachelX + 1 18363 KachelY + 1 22591 -2.26132737 1.31691657 -129.564514 75.453761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31692861-1.31691657) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dl = 76.706839999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31692861-1.31691657) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dr = 76.706839999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26137530--2.26132737) × cos(1.31692861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251149578273075 × 6371000     		do = 76.691545055157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26137530--2.26132737) × cos(1.31691657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251161232352265 × 6371000     		du = 76.6951037684363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31692861)-sin(1.31691657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251149578273075-0.251161232352265)×R²
    abs(-2.26132737--2.26137530)×1.16540791904041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16540791904041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16540791904041e-05×40589641000000     		ar = 5882.90256475408m²