Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18362 / 14398
↖ ↑ ↗
← N 70.499241°
W 79.134521°		 ← 203.89 m → N 70.499241°
W 79.129028°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 70.497408°
W 79.134521°		 ← 203.91 m →
41 570 m²		 N 70.497408°
W 79.129028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280189514160156 y=0.219703674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280189514160156 × 216)
    floor (0.280189514160156 × 65536)
    floor (18362.5)     		tx = 18362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219703674316406 × 216)
    floor (0.219703674316406 × 65536)
    floor (14398.5)     		ty = 14398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18362 / 14398 ti = "16/18362/14398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18362/14398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18362 ÷ 216
    18362 ÷ 65536     		x = 0.280181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14398 ÷ 216
    14398 ÷ 65536     		y = 0.219696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.43963623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38115795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219696044921875 × 2 - 1) × π
    0.56060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76120169204086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38115795} λ = -1.38115795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76120169204086))-π/2
    2×atan(5.81942635260414)-π/2
    2×1.4006201039956-π/2
    2.80124020799121-1.57079632675     		φ = 1.23044388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38115795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.134521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23044388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.499241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18362 KachelY 14398 -1.38115795 1.23044388 -79.134521 70.499241
    Oben rechts KachelX + 1 18363 KachelY 14398 -1.38106208 1.23044388 -79.129028 70.499241
    Unten links KachelX 18362 KachelY + 1 14399 -1.38115795 1.23041188 -79.134521 70.497408
    Unten rechts KachelX + 1 18363 KachelY + 1 14399 -1.38106208 1.23041188 -79.129028 70.497408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23044388-1.23041188) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23044388-1.23041188) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38115795--1.38106208) × cos(1.23044388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333819342281501 × 6371000     		do = 203.89277165498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38115795--1.38106208) × cos(1.23041188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333849506496837 × 6371000     		du = 203.911195588799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23044388)-sin(1.23041188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333819342281501-0.333849506496837)×R²
    abs(-1.38106208--1.38115795)×3.0164215336026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0164215336026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0164215336026e-05×40589641000000     		ar = 41569.9052088154m²