Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18360 / 13506
↖ ↑ ↗
← N 30.126124°
E 21.708984°		 ← 1 056.62 m → N 30.126124°
E 21.719971°		 →
↑
1 056.63 m
↓
↑
1 056.63 m
↓
N 30.116622°
E 21.708984°		 ← 1 056.73 m →
1 116 514 m²		 N 30.116622°
E 21.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560317993164062 y=0.412185668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560317993164062 × 215)
    floor (0.560317993164062 × 32768)
    floor (18360.5)     		tx = 18360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412185668945312 × 215)
    floor (0.412185668945312 × 32768)
    floor (13506.5)     		ty = 13506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18360 / 13506 ti = "15/18360/13506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18360/13506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18360 ÷ 215
    18360 ÷ 32768     		x = 0.560302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13506 ÷ 215
    13506 ÷ 32768     		y = 0.41217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560302734375 × 2 - 1) × π
    0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    0.1756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551849588426086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37889325} λ = 0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551849588426086))-π/2
    2×atan(1.73646178912705)-π/2
    2×1.04829819390113-π/2
    2.09659638780226-1.57079632675     		φ = 0.52580006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52580006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.126124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18360 KachelY 13506 0.37889325 0.52580006 21.708984 30.126124
    Oben rechts KachelX + 1 18361 KachelY 13506 0.37908500 0.52580006 21.719971 30.126124
    Unten links KachelX 18360 KachelY + 1 13507 0.37889325 0.52563421 21.708984 30.116622
    Unten rechts KachelX + 1 18361 KachelY + 1 13507 0.37908500 0.52563421 21.719971 30.116622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52580006-0.52563421) × R
    0.000165850000000023 × 6371000     		dl = 1056.63035000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52580006-0.52563421) × R
    0.000165850000000023 × 6371000     		dr = 1056.63035000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37889325-0.37908500) × cos(0.52580006) × R
    0.000191749999999991 × 0.864922664244018 × 6371000     		do = 1056.62347485501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37889325-0.37908500) × cos(0.52563421) × R
    0.000191749999999991 × 0.865005893318259 × 6371000     		du = 1056.72515075885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52580006)-sin(0.52563421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864922664244018-0.865005893318259)×R²
    abs(0.37908500-0.37889325)×8.32290742407427e-05×R²
    0.000191749999999991×8.32290742407427e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.32290742407427e-05×40589641000000     		ar = 1116514.15153697m²