Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18357 / 51830
↖ ↑ ↗
← S 71.729218°
W 79.161987°		 ← 191.49 m → S 71.729218°
W 79.156494°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 71.730940°
W 79.161987°		 ← 191.47 m →
36 670 m²		 S 71.730940°
W 79.156494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280113220214844 y=0.790870666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280113220214844 × 216)
    floor (0.280113220214844 × 65536)
    floor (18357.5)     		tx = 18357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790870666503906 × 216)
    floor (0.790870666503906 × 65536)
    floor (51830.5)     		ty = 51830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18357 / 51830 ti = "16/18357/51830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18357/51830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18357 ÷ 216
    18357 ÷ 65536     		x = 0.280105590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51830 ÷ 216
    51830 ÷ 65536     		y = 0.790863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280105590820312 × 2 - 1) × π
    -0.439788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38163732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.58172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82754636111502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38163732} λ = -1.38163732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82754636111502))-π/2
    2×atan(0.16080764801033)-π/2
    2×0.15944265112373-π/2
    0.31888530224746-1.57079632675     		φ = -1.25191102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38163732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.161987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25191102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.729218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18357 KachelY 51830 -1.38163732 -1.25191102 -79.161987 -71.729218
    Oben rechts KachelX + 1 18358 KachelY 51830 -1.38154145 -1.25191102 -79.156494 -71.729218
    Unten links KachelX 18357 KachelY + 1 51831 -1.38163732 -1.25194108 -79.161987 -71.730940
    Unten rechts KachelX + 1 18358 KachelY + 1 51831 -1.38154145 -1.25194108 -79.156494 -71.730940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25191102--1.25194108) × R
    3.00599999998319e-05 × 6371000     		dl = 191.512259998929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25191102--1.25194108) × R
    3.00599999998319e-05 × 6371000     		dr = 191.512259998929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38163732--1.38154145) × cos(-1.25191102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313508259133766 × 6371000     		do = 191.487010472891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38163732--1.38154145) × cos(-1.25194108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313479714452794 × 6371000     		du = 191.469575730855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25191102)-sin(-1.25194108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313508259133766-0.313479714452794)×R²
    abs(-1.38154145--1.38163732)×2.85446809721313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85446809721313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85446809721313e-05×40589641000000     		ar = 36670.4406552327m²