Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18357 / 22581
↖ ↑ ↗
← N 75.460658°
W129.580994°		 ← 76.68 m → N 75.460658°
W129.578247°		 →
↑
76.71 m
↓
↑
76.71 m
↓
N 75.459968°
W129.580994°		 ← 76.68 m →
5 882 m²		 N 75.459968°
W129.578247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140056610107422 y=0.172283172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140056610107422 × 217)
    floor (0.140056610107422 × 131072)
    floor (18357.5)     		tx = 18357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172283172607422 × 217)
    floor (0.172283172607422 × 131072)
    floor (22581.5)     		ty = 22581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18357 / 22581 ti = "17/18357/22581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18357/22581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18357 ÷ 217
    18357 ÷ 131072     		x = 0.140052795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22581 ÷ 217
    22581 ÷ 131072     		y = 0.172279357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140052795410156 × 2 - 1) × π
    -0.719894409179688 × 3.1415926535     		Λ = -2.26161499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172279357910156 × 2 - 1) × π
    0.655441284179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.05912952317951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26161499} λ = -2.26161499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05912952317951))-π/2
    2×atan(7.83914304716493)-π/2
    2×1.4439166316917-π/2
    2.88783326338341-1.57079632675     		φ = 1.31703694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26161499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.580994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31703694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.460658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18357 KachelY 22581 -2.26161499 1.31703694 -129.580994 75.460658
    Oben rechts KachelX + 1 18358 KachelY 22581 -2.26156705 1.31703694 -129.578247 75.460658
    Unten links KachelX 18357 KachelY + 1 22582 -2.26161499 1.31702490 -129.580994 75.459968
    Unten rechts KachelX + 1 18358 KachelY + 1 22582 -2.26156705 1.31702490 -129.578247 75.459968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31703694-1.31702490) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dl = 76.706839999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31703694-1.31702490) × R
    1.20399999998799e-05 × 6371000     		dr = 76.706839999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26161499--2.26156705) × cos(1.31703694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251044718961511 × 6371000     		do = 76.6755190618612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26161499--2.26156705) × cos(1.31702490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251056373368213 × 6371000     		du = 76.6790786176525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31703694)-sin(1.31702490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251044718961511-0.251056373368213)×R²
    abs(-2.26156705--2.26161499)×1.1654406702255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1654406702255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1654406702255e-05×40589641000000     		ar = 5881.67329362231m²