Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18357 / 13878
↖ ↑ ↗
← N 26.529565°
E 21.676025°		 ← 1 093.01 m → N 26.529565°
E 21.687012°		 →
↑
1 093.01 m
↓
↑
1 093.01 m
↓
N 26.519735°
E 21.676025°		 ← 1 093.10 m →
1 194 716 m²		 N 26.519735°
E 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560226440429688 y=0.423538208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560226440429688 × 215)
    floor (0.560226440429688 × 32768)
    floor (18357.5)     		tx = 18357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423538208007812 × 215)
    floor (0.423538208007812 × 32768)
    floor (13878.5)     		ty = 13878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18357 / 13878 ti = "15/18357/13878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18357/13878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18357 ÷ 215
    18357 ÷ 32768     		x = 0.560211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13878 ÷ 215
    13878 ÷ 32768     		y = 0.42352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560211181640625 × 2 - 1) × π
    0.12042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37831801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42352294921875 × 2 - 1) × π
    0.1529541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.480519481791443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37831801} λ = 0.37831801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480519481791443))-π/2
    2×atan(1.61691414151421)-π/2
    2×1.01691229465651-π/2
    2.03382458931301-1.57079632675     		φ = 0.46302826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37831801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46302826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.529565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18357 KachelY 13878 0.37831801 0.46302826 21.676025 26.529565
    Oben rechts KachelX + 1 18358 KachelY 13878 0.37850976 0.46302826 21.687012 26.529565
    Unten links KachelX 18357 KachelY + 1 13879 0.37831801 0.46285670 21.676025 26.519735
    Unten rechts KachelX + 1 18358 KachelY + 1 13879 0.37850976 0.46285670 21.687012 26.519735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46302826-0.46285670) × R
    0.000171560000000015 × 6371000     		dl = 1093.0087600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46302826-0.46285670) × R
    0.000171560000000015 × 6371000     		dr = 1093.0087600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37831801-0.37850976) × cos(0.46302826) × R
    0.000191749999999991 × 0.894704000727646 × 6371000     		do = 1093.00552442087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37831801-0.37850976) × cos(0.46285670) × R
    0.000191749999999991 × 0.894780616472346 × 6371000     		du = 1093.09912122176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46302826)-sin(0.46285670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894704000727646-0.894780616472346)×R²
    abs(0.37850976-0.37831801)×7.66157447003035e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66157447003035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66157447003035e-05×40589641000000     		ar = 1194715.76691276m²