Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18356 / 19148
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
E 21.665039°		 ← 1 068.09 m → S 29.036961°
E 21.676025°		 →
↑
1 068.03 m
↓
↑
1 068.03 m
↓
S 29.046566°
E 21.665039°		 ← 1 067.99 m →
1 140 701 m²		 S 29.046566°
E 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560195922851562 y=0.584365844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560195922851562 × 215)
    floor (0.560195922851562 × 32768)
    floor (18356.5)     		tx = 18356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584365844726562 × 215)
    floor (0.584365844726562 × 32768)
    floor (19148.5)     		ty = 19148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18356 / 19148 ti = "15/18356/19148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18356/19148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18356 ÷ 215
    18356 ÷ 32768     		x = 0.5601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19148 ÷ 215
    19148 ÷ 32768     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5601806640625 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37812626} λ = 0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18356 KachelY 19148 0.37812626 -0.50679057 21.665039 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 18357 KachelY 19148 0.37831801 -0.50679057 21.676025 -29.036961
    Unten links KachelX 18356 KachelY + 1 19149 0.37812626 -0.50695821 21.665039 -29.046566
    Unten rechts KachelX + 1 18357 KachelY + 1 19149 0.37831801 -0.50695821 21.676025 -29.046566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50695821) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dl = 1068.03443999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50695821) × R
    0.000167639999999913 × 6371000     		dr = 1068.03443999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37812626-0.37831801) × cos(-0.50679057) × R
    0.000191749999999991 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 1068.08748000878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37812626-0.37831801) × cos(-0.50695821) × R
    0.000191749999999991 × 0.874225400498429 × 6371000     		du = 1067.9880625958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.874225400498429)×R²
    abs(0.37831801-0.37812626)×8.13803362851306e-05×R²
    0.000191749999999991×8.13803362851306e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.13803362851306e-05×40589641000000     		ar = 1140701.12564214m²