Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18356 / 13877
↖ ↑ ↗
← N 26.539394°
E 21.665039°		 ← 1 092.91 m → N 26.539394°
E 21.676025°		 →
↑
1 092.95 m
↓
↑
1 092.95 m
↓
N 26.529565°
E 21.665039°		 ← 1 093.01 m →
1 194 544 m²		 N 26.529565°
E 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560195922851562 y=0.423507690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560195922851562 × 215)
    floor (0.560195922851562 × 32768)
    floor (18356.5)     		tx = 18356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423507690429688 × 215)
    floor (0.423507690429688 × 32768)
    floor (13877.5)     		ty = 13877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18356 / 13877 ti = "15/18356/13877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18356/13877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18356 ÷ 215
    18356 ÷ 32768     		x = 0.5601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13877 ÷ 215
    13877 ÷ 32768     		y = 0.423492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5601806640625 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423492431640625 × 2 - 1) × π
    0.15301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480711229389923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37812626} λ = 0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480711229389923))-π/2
    2×atan(1.61722421064435)-π/2
    2×1.01699806965453-π/2
    2.03399613930906-1.57079632675     		φ = 0.46319981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46319981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.539394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18356 KachelY 13877 0.37812626 0.46319981 21.665039 26.539394
    Oben rechts KachelX + 1 18357 KachelY 13877 0.37831801 0.46319981 21.676025 26.539394
    Unten links KachelX 18356 KachelY + 1 13878 0.37812626 0.46302826 21.665039 26.529565
    Unten rechts KachelX + 1 18357 KachelY + 1 13878 0.37831801 0.46302826 21.676025 26.529565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46319981-0.46302826) × R
    0.000171549999999965 × 6371000     		dl = 1092.94504999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46319981-0.46302826) × R
    0.000171549999999965 × 6371000     		dr = 1092.94504999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37812626-0.37831801) × cos(0.46319981) × R
    0.000191749999999991 × 0.894627363117402 × 6371000     		do = 1092.91190090817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37812626-0.37831801) × cos(0.46302826) × R
    0.000191749999999991 × 0.894704000727646 × 6371000     		du = 1093.00552442087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46319981)-sin(0.46302826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894627363117402-0.894704000727646)×R²
    abs(0.37831801-0.37812626)×7.66376102440125e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66376102440125e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66376102440125e-05×40589641000000     		ar = 1194543.81779017m²