Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18353 / 19171
↖ ↑ ↗
← S 29.257649°
E 21.632080°		 ← 1 065.80 m → S 29.257649°
E 21.643066°		 →
↑
1 065.74 m
↓
↑
1 065.74 m
↓
S 29.267233°
E 21.632080°		 ← 1 065.70 m →
1 135 809 m²		 S 29.267233°
E 21.643066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560104370117188 y=0.585067749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560104370117188 × 215)
    floor (0.560104370117188 × 32768)
    floor (18353.5)     		tx = 18353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585067749023438 × 215)
    floor (0.585067749023438 × 32768)
    floor (19171.5)     		ty = 19171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18353 / 19171 ti = "15/18353/19171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18353/19171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18353 ÷ 215
    18353 ÷ 32768     		x = 0.560089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19171 ÷ 215
    19171 ÷ 32768     		y = 0.585052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560089111328125 × 2 - 1) × π
    0.12017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37755102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.534400556964386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37755102} λ = 0.37755102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534400556964386))-π/2
    2×atan(0.586020470767818)-π/2
    2×0.53007701451447-π/2
    1.06015402902894-1.57079632675     		φ = -0.51064230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37755102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51064230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.257649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18353 KachelY 19171 0.37755102 -0.51064230 21.632080 -29.257649
    Oben rechts KachelX + 1 18354 KachelY 19171 0.37774277 -0.51064230 21.643066 -29.257649
    Unten links KachelX 18353 KachelY + 1 19172 0.37755102 -0.51080958 21.632080 -29.267233
    Unten rechts KachelX + 1 18354 KachelY + 1 19172 0.37774277 -0.51080958 21.643066 -29.267233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51064230--0.51080958) × R
    0.000167279999999992 × 6371000     		dl = 1065.74087999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51064230--0.51080958) × R
    0.000167279999999992 × 6371000     		dr = 1065.74087999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37755102-0.37774277) × cos(-0.51064230) × R
    0.000191749999999991 × 0.872430771396581 × 6371000     		do = 1065.79567324579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37755102-0.37774277) × cos(-0.51080958) × R
    0.000191749999999991 × 0.872349003146403 × 6371000     		du = 1065.69578194197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51064230)-sin(-0.51080958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872430771396581-0.872349003146403)×R²
    abs(0.37774277-0.37755102)×8.1768250177916e-05×R²
    0.000191749999999991×8.1768250177916e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.1768250177916e-05×40589641000000     		ar = 1135808.79223035m²