Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18352 / 22575
↖ ↑ ↗
← N 75.464794°
W129.594726°		 ← 76.65 m → N 75.464794°
W129.591980°		 →
↑
76.64 m
↓
↑
76.64 m
↓
N 75.464105°
W129.594726°		 ← 76.66 m →
5 875 m²		 N 75.464105°
W129.591980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140018463134766 y=0.172237396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140018463134766 × 217)
    floor (0.140018463134766 × 131072)
    floor (18352.5)     		tx = 18352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172237396240234 × 217)
    floor (0.172237396240234 × 131072)
    floor (22575.5)     		ty = 22575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18352 / 22575 ti = "17/18352/22575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18352/22575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18352 ÷ 217
    18352 ÷ 131072     		x = 0.1400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22575 ÷ 217
    22575 ÷ 131072     		y = 0.172233581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26185467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172233581542969 × 2 - 1) × π
    0.655532836914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.05941714457723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26185467} λ = -2.26185467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05941714457723))-π/2
    2×atan(7.84139807672692)-π/2
    2×1.44395272958338-π/2
    2.88790545916675-1.57079632675     		φ = 1.31710913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26185467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31710913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.464794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18352 KachelY 22575 -2.26185467 1.31710913 -129.594726 75.464794
    Oben rechts KachelX + 1 18353 KachelY 22575 -2.26180673 1.31710913 -129.591980 75.464794
    Unten links KachelX 18352 KachelY + 1 22576 -2.26185467 1.31709710 -129.594726 75.464105
    Unten rechts KachelX + 1 18353 KachelY + 1 22576 -2.26180673 1.31709710 -129.591980 75.464105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31710913-1.31709710) × R
    1.20299999999407e-05 × 6371000     		dl = 76.6431299996222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31710913-1.31709710) × R
    1.20299999999407e-05 × 6371000     		dr = 76.6431299996222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26185467--2.26180673) × cos(1.31710913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250974840156808 × 6371000     		do = 76.6541762762244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26185467--2.26180673) × cos(1.31709710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250986485101779 × 6371000     		du = 76.6577329421595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31710913)-sin(1.31709710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250974840156808-0.250986485101779)×R²
    abs(-2.26180673--2.26185467)×1.16449449711342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16449449711342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16449449711342e-05×40589641000000     		ar = 5875.15229443191m²