Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18351 / 19166
↖ ↑ ↗
← S 29.209713°
E 21.610108°		 ← 1 066.24 m → S 29.209713°
E 21.621094°		 →
↑
1 066.25 m
↓
↑
1 066.25 m
↓
S 29.219302°
E 21.610108°		 ← 1 066.14 m →
1 136 825 m²		 S 29.219302°
E 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560043334960938 y=0.584915161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560043334960938 × 215)
    floor (0.560043334960938 × 32768)
    floor (18351.5)     		tx = 18351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584915161132812 × 215)
    floor (0.584915161132812 × 32768)
    floor (19166.5)     		ty = 19166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18351 / 19166 ti = "15/18351/19166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18351/19166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18351 ÷ 215
    18351 ÷ 32768     		x = 0.560028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19166 ÷ 215
    19166 ÷ 32768     		y = 0.58489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560028076171875 × 2 - 1) × π
    0.12005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37716753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58489990234375 × 2 - 1) × π
    -0.1697998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533441818971985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37716753} λ = 0.37716753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533441818971985))-π/2
    2×atan(0.58658258027228)-π/2
    2×0.530495328726735-π/2
    1.06099065745347-1.57079632675     		φ = -0.50980567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37716753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.610108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50980567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.209713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18351 KachelY 19166 0.37716753 -0.50980567 21.610108 -29.209713
    Oben rechts KachelX + 1 18352 KachelY 19166 0.37735927 -0.50980567 21.621094 -29.209713
    Unten links KachelX 18351 KachelY + 1 19167 0.37716753 -0.50997303 21.610108 -29.219302
    Unten rechts KachelX + 1 18352 KachelY + 1 19167 0.37735927 -0.50997303 21.621094 -29.219302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50980567--0.50997303) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dl = 1066.25056000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50980567--0.50997303) × R
    0.000167360000000061 × 6371000     		dr = 1066.25056000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37716753-0.37735927) × cos(-0.50980567) × R
    0.000191740000000051 × 0.872839358650314 × 6371000     		do = 1066.2392108768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37716753-0.37735927) × cos(-0.50997303) × R
    0.000191740000000051 × 0.872757673468689 × 6371000     		du = 1066.13942625694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50980567)-sin(-0.50997303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872839358650314-0.872757673468689)×R²
    abs(0.37735927-0.37716753)×8.16851816249908e-05×R²
    0.000191740000000051×8.16851816249908e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.16851816249908e-05×40589641000000     		ar = 1136824.96064206m²