Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18350 / 22632
↖ ↑ ↗
← N 75.425451°
W129.600220°		 ← 76.86 m → N 75.425451°
W129.597473°		 →
↑
76.83 m
↓
↑
76.83 m
↓
N 75.424760°
W129.600220°		 ← 76.86 m →
5 905 m²		 N 75.424760°
W129.597473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140003204345703 y=0.172672271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140003204345703 × 217)
    floor (0.140003204345703 × 131072)
    floor (18350.5)     		tx = 18350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172672271728516 × 217)
    floor (0.172672271728516 × 131072)
    floor (22632.5)     		ty = 22632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18350 / 22632 ti = "17/18350/22632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18350/22632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18350 ÷ 217
    18350 ÷ 131072     		x = 0.139999389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22632 ÷ 217
    22632 ÷ 131072     		y = 0.17266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139999389648438 × 2 - 1) × π
    -0.720001220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26195055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17266845703125 × 2 - 1) × π
    0.6546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05668474129889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26195055} λ = -2.26195055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05668474129889))-π/2
    2×atan(7.82000146031999)-π/2
    2×1.44360939352242-π/2
    2.88721878704483-1.57079632675     		φ = 1.31642246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26195055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.600220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31642246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.425451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18350 KachelY 22632 -2.26195055 1.31642246 -129.600220 75.425451
    Oben rechts KachelX + 1 18351 KachelY 22632 -2.26190261 1.31642246 -129.597473 75.425451
    Unten links KachelX 18350 KachelY + 1 22633 -2.26195055 1.31641040 -129.600220 75.424760
    Unten rechts KachelX + 1 18351 KachelY + 1 22633 -2.26190261 1.31641040 -129.597473 75.424760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31642246-1.31641040) × R
    1.20599999999804e-05 × 6371000     		dl = 76.8342599998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31642246-1.31641040) × R
    1.20599999999804e-05 × 6371000     		dr = 76.8342599998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26195055--2.26190261) × cos(1.31642246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251639473107681 × 6371000     		do = 76.8571722870732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26195055--2.26190261) × cos(1.31641040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.251651145011187 × 6371000     		du = 76.8607371868385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31642246)-sin(1.31641040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251639473107681-0.251651145011187)×R²
    abs(-2.26190261--2.26195055)×1.16719035053725e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16719035053725e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16719035053725e-05×40589641000000     		ar = 5905.40091157809m²