Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18350 / 19117
↖ ↑ ↗
← S 28.738764°
E 21.599121°		 ← 1 071.16 m → S 28.738764°
E 21.610108°		 →
↑
1 071.09 m
↓
↑
1 071.09 m
↓
S 28.748396°
E 21.599121°		 ← 1 071.06 m →
1 147 258 m²		 S 28.748396°
E 21.610108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560012817382812 y=0.583419799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560012817382812 × 215)
    floor (0.560012817382812 × 32768)
    floor (18350.5)     		tx = 18350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583419799804688 × 215)
    floor (0.583419799804688 × 32768)
    floor (19117.5)     		ty = 19117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18350 / 19117 ti = "15/18350/19117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18350/19117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18350 ÷ 215
    18350 ÷ 32768     		x = 0.55999755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19117 ÷ 215
    19117 ÷ 32768     		y = 0.583404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55999755859375 × 2 - 1) × π
    0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.16680908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.524046186646454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37697578} λ = 0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524046186646454))-π/2
    2×atan(0.592119866944962)-π/2
    2×0.534605136277049-π/2
    1.0692102725541-1.57079632675     		φ = -0.50158605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50158605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.738764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18350 KachelY 19117 0.37697578 -0.50158605 21.599121 -28.738764
    Oben rechts KachelX + 1 18351 KachelY 19117 0.37716753 -0.50158605 21.610108 -28.738764
    Unten links KachelX 18350 KachelY + 1 19118 0.37697578 -0.50175417 21.599121 -28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 18351 KachelY + 1 19118 0.37716753 -0.50175417 21.610108 -28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50158605--0.50175417) × R
    0.000168119999999994 × 6371000     		dl = 1071.09251999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50158605--0.50175417) × R
    0.000168119999999994 × 6371000     		dr = 1071.09251999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37697578-0.37716753) × cos(-0.50158605) × R
    0.000191749999999991 × 0.876821065530476 × 6371000     		do = 1071.1590288788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37697578-0.37716753) × cos(-0.50175417) × R
    0.000191749999999991 × 0.876740218214884 × 6371000     		du = 1071.06026262481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50158605)-sin(-0.50175417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876821065530476-0.876740218214884)×R²
    abs(0.37716753-0.37697578)×8.0847315591992e-05×R²
    0.000191749999999991×8.0847315591992e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.0847315591992e-05×40589641000000     		ar = 1147257.53236648m²