Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1835 / 2684
↖ ↑ ↗
← S 48.690960°
W 18.720703°		 ← 6 451.35 m → S 48.690960°
W 18.632813°		 →
↑
6 447.64 m
↓
↑
6 447.64 m
↓
S 48.748945°
W 18.720703°		 ← 6 443.91 m →
41 572 017 m²		 S 48.748945°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4481201171875 y=0.6553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4481201171875 × 212)
    floor (0.4481201171875 × 4096)
    floor (1835.5)     		tx = 1835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6553955078125 × 212)
    floor (0.6553955078125 × 4096)
    floor (2684.5)     		ty = 2684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1835 / 2684 ti = "12/1835/2684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1835/2684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1835 ÷ 212
    1835 ÷ 4096     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2684 ÷ 212
    2684 ÷ 4096     		y = 0.6552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975611781067383))-π/2
    2×atan(0.37696166499513)-π/2
    2×0.360489376016754-π/2
    0.720978752033509-1.57079632675     		φ = -0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1835 KachelY 2684 -0.32673791 -0.84981757 -18.720703 -48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 1836 KachelY 2684 -0.32520393 -0.84981757 -18.632813 -48.690960
    Unten links KachelX 1835 KachelY + 1 2685 -0.32673791 -0.85082960 -18.720703 -48.748945
    Unten rechts KachelX + 1 1836 KachelY + 1 2685 -0.32520393 -0.85082960 -18.632813 -48.748945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84981757--0.85082960) × R
    0.00101202999999994 × 6371000     		dl = 6447.64312999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84981757--0.85082960) × R
    0.00101202999999994 × 6371000     		dr = 6447.64312999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(-0.84981757) × R
    0.00153398000000005 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 6451.34576769516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(-0.85082960) × R
    0.00153398000000005 × 0.65935965662025 × 6371000     		du = 6443.9130755433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84981757)-sin(-0.85082960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.65935965662025)×R²
    abs(-0.32520393--0.32673791)×0.000760534365929821×R²
    0.00153398000000005×0.000760534365929821×6371000²
    0.00153398000000005×0.000760534365929821×40589641000000     		ar = 41572017.093269m²