Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1835 / 2615
↖ ↑ ↗
← S 44.527843°
W 18.720703°		 ← 6 967.26 m → S 44.527843°
W 18.632813°		 →
↑
6 963.50 m
↓
↑
6 963.50 m
↓
S 44.590467°
W 18.720703°		 ← 6 959.76 m →
48 490 428 m²		 S 44.590467°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4481201171875 y=0.6385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4481201171875 × 212)
    floor (0.4481201171875 × 4096)
    floor (1835.5)     		tx = 1835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6385498046875 × 212)
    floor (0.6385498046875 × 4096)
    floor (2615.5)     		ty = 2615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1835 / 2615 ti = "12/1835/2615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1835/2615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1835 ÷ 212
    1835 ÷ 4096     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2615 ÷ 212
    2615 ÷ 4096     		y = 0.638427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869767106706299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869767106706299))-π/2
    2×atan(0.419049131616543)-π/2
    2×0.396819430584563-π/2
    0.793638861169125-1.57079632675     		φ = -0.77715747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77715747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.527843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1835 KachelY 2615 -0.32673791 -0.77715747 -18.720703 -44.527843
    Oben rechts KachelX + 1 1836 KachelY 2615 -0.32520393 -0.77715747 -18.632813 -44.527843
    Unten links KachelX 1835 KachelY + 1 2616 -0.32673791 -0.77825047 -18.720703 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 1836 KachelY + 1 2616 -0.32520393 -0.77825047 -18.632813 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77715747--0.77825047) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dl = 6963.50300000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77715747--0.77825047) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dr = 6963.50300000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(-0.77715747) × R
    0.00153398000000005 × 0.712909756087121 × 6371000     		do = 6967.25747899071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(-0.77825047) × R
    0.00153398000000005 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 6959.76259257106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77715747)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712909756087121-0.712142857825438)×R²
    abs(-0.32520393--0.32673791)×0.00076689826168308×R²
    0.00153398000000005×0.00076689826168308×6371000²
    0.00153398000000005×0.00076689826168308×40589641000000     		ar = 48490427.8521116m²