Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1835 / 1231
↖ ↑ ↗
← N 58.124319°
W 18.720703°		 ← 5 160.90 m → N 58.124319°
W 18.632813°		 →
↑
5 164.27 m
↓
↑
5 164.27 m
↓
N 58.077876°
W 18.720703°		 ← 5 167.62 m →
26 669 636 m²		 N 58.077876°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4481201171875 y=0.3006591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4481201171875 × 212)
    floor (0.4481201171875 × 4096)
    floor (1835.5)     		tx = 1835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3006591796875 × 212)
    floor (0.3006591796875 × 4096)
    floor (1231.5)     		ty = 1231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1835 / 1231 ti = "12/1835/1231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1835/1231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1835 ÷ 212
    1835 ÷ 4096     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1231 ÷ 212
    1231 ÷ 4096     		y = 0.300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300537109375 × 2 - 1) × π
    0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25326230366675))-π/2
    2×atan(3.50174810950979)-π/2
    2×1.29262853968841-π/2
    2.58525707937683-1.57079632675     		φ = 1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1835 KachelY 1231 -0.32673791 1.01446075 -18.720703 58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 1836 KachelY 1231 -0.32520393 1.01446075 -18.632813 58.124319
    Unten links KachelX 1835 KachelY + 1 1232 -0.32673791 1.01365016 -18.720703 58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 1836 KachelY + 1 1232 -0.32520393 1.01365016 -18.632813 58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01446075-1.01365016) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dl = 5164.26888999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01446075-1.01365016) × R
    0.000810589999999944 × 6371000     		dr = 5164.26888999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(1.01446075) × R
    0.00153398000000005 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 5160.89859345277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32520393) × cos(1.01365016) × R
    0.00153398000000005 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 5167.62412971438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01446075)-sin(1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.528766113348559)×R²
    abs(-0.32520393--0.32673791)×0.000688176148258779×R²
    0.00153398000000005×0.000688176148258779×6371000²
    0.00153398000000005×0.000688176148258779×40589641000000     		ar = 26669635.7497441m²