Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18347 / 22573
↖ ↑ ↗
← N 75.466173°
W129.608460°		 ← 76.65 m → N 75.466173°
W129.605713°		 →
↑
76.64 m
↓
↑
76.64 m
↓
N 75.465484°
W129.608460°		 ← 76.65 m →
5 875 m²		 N 75.465484°
W129.605713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139980316162109 y=0.172222137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139980316162109 × 217)
    floor (0.139980316162109 × 131072)
    floor (18347.5)     		tx = 18347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172222137451172 × 217)
    floor (0.172222137451172 × 131072)
    floor (22573.5)     		ty = 22573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18347 / 22573 ti = "17/18347/22573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18347/22573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18347 ÷ 217
    18347 ÷ 131072     		x = 0.139976501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22573 ÷ 217
    22573 ÷ 131072     		y = 0.172218322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139976501464844 × 2 - 1) × π
    -0.720046997070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.26209436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172218322753906 × 2 - 1) × π
    0.655563354492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.05951301837647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26209436} λ = -2.26209436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05951301837647))-π/2
    2×atan(7.84214989739126)-π/2
    2×1.44396475998074-π/2
    2.88792951996147-1.57079632675     		φ = 1.31713319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26209436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.608460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31713319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.466173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18347 KachelY 22573 -2.26209436 1.31713319 -129.608460 75.466173
    Oben rechts KachelX + 1 18348 KachelY 22573 -2.26204642 1.31713319 -129.605713 75.466173
    Unten links KachelX 18347 KachelY + 1 22574 -2.26209436 1.31712116 -129.608460 75.465484
    Unten rechts KachelX + 1 18348 KachelY + 1 22574 -2.26204642 1.31712116 -129.605713 75.465484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31713319-1.31712116) × R
    1.20300000001627e-05 × 6371000     		dl = 76.6431300010368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31713319-1.31712116) × R
    1.20300000001627e-05 × 6371000     		dr = 76.6431300010368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26209436--2.26204642) × cos(1.31713319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250951550157903 × 6371000     		do = 76.6470629110744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26209436--2.26204642) × cos(1.31712116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250963195175515 × 6371000     		du = 76.6506195991959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31713319)-sin(1.31712116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250951550157903-0.250963195175515)×R²
    abs(-2.26204642--2.26209436)×1.16450176122496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16450176122496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16450176122496e-05×40589641000000     		ar = 5874.60710478211m²