Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18346 / 19170
↖ ↑ ↗
← S 29.248063°
E 21.555176°		 ← 1 065.90 m → S 29.248063°
E 21.566162°		 →
↑
1 065.87 m
↓
↑
1 065.87 m
↓
S 29.257649°
E 21.555176°		 ← 1 065.80 m →
1 136 051 m²		 S 29.257649°
E 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559890747070312 y=0.585037231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559890747070312 × 215)
    floor (0.559890747070312 × 32768)
    floor (18346.5)     		tx = 18346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585037231445312 × 215)
    floor (0.585037231445312 × 32768)
    floor (19170.5)     		ty = 19170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18346 / 19170 ti = "15/18346/19170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18346/19170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18346 ÷ 215
    18346 ÷ 32768     		x = 0.55987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19170 ÷ 215
    19170 ÷ 32768     		y = 0.58502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55987548828125 × 2 - 1) × π
    0.1197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37620879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58502197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1700439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.534208809365906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37620879} λ = 0.37620879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534208809365906))-π/2
    2×atan(0.586132849559585)-π/2
    2×0.530160661686218-π/2
    1.06032132337244-1.57079632675     		φ = -0.51047500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37620879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51047500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.248063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18346 KachelY 19170 0.37620879 -0.51047500 21.555176 -29.248063
    Oben rechts KachelX + 1 18347 KachelY 19170 0.37640054 -0.51047500 21.566162 -29.248063
    Unten links KachelX 18346 KachelY + 1 19171 0.37620879 -0.51064230 21.555176 -29.257649
    Unten rechts KachelX + 1 18347 KachelY + 1 19171 0.37640054 -0.51064230 21.566162 -29.257649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51047500--0.51064230) × R
    0.000167299999999981 × 6371000     		dl = 1065.86829999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51047500--0.51064230) × R
    0.000167299999999981 × 6371000     		dr = 1065.86829999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37620879-0.37640054) × cos(-0.51047500) × R
    0.000191749999999991 × 0.872512525005714 × 6371000     		do = 1065.89554666353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37620879-0.37640054) × cos(-0.51064230) × R
    0.000191749999999991 × 0.872430771396581 × 6371000     		du = 1065.79567324579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51047500)-sin(-0.51064230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872512525005714-0.872430771396581)×R²
    abs(0.37640054-0.37620879)×8.1753609133095e-05×R²
    0.000191749999999991×8.1753609133095e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.1753609133095e-05×40589641000000     		ar = 1136051.05099444m²