Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18346 / 15323
↖ ↑ ↗
← N 11.576907°
E 21.555176°		 ← 1 196.79 m → N 11.576907°
E 21.566162°		 →
↑
1 196.79 m
↓
↑
1 196.79 m
↓
N 11.566144°
E 21.555176°		 ← 1 196.83 m →
1 432 332 m²		 N 11.566144°
E 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559890747070312 y=0.467636108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559890747070312 × 215)
    floor (0.559890747070312 × 32768)
    floor (18346.5)     		tx = 18346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467636108398438 × 215)
    floor (0.467636108398438 × 32768)
    floor (15323.5)     		ty = 15323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18346 / 15323 ti = "15/18346/15323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18346/15323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18346 ÷ 215
    18346 ÷ 32768     		x = 0.55987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15323 ÷ 215
    15323 ÷ 32768     		y = 0.467620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55987548828125 × 2 - 1) × π
    0.1197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37620879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467620849609375 × 2 - 1) × π
    0.06475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.203444201987518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37620879} λ = 0.37620879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203444201987518))-π/2
    2×atan(1.22561676875348)-π/2
    2×0.886425733817703-π/2
    1.77285146763541-1.57079632675     		φ = 0.20205514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37620879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20205514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.576907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18346 KachelY 15323 0.37620879 0.20205514 21.555176 11.576907
    Oben rechts KachelX + 1 18347 KachelY 15323 0.37640054 0.20205514 21.566162 11.576907
    Unten links KachelX 18346 KachelY + 1 15324 0.37620879 0.20186729 21.555176 11.566144
    Unten rechts KachelX + 1 18347 KachelY + 1 15324 0.37640054 0.20186729 21.566162 11.566144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20205514-0.20186729) × R
    0.000187849999999989 × 6371000     		dl = 1196.79234999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20205514-0.20186729) × R
    0.000187849999999989 × 6371000     		dr = 1196.79234999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37620879-0.37640054) × cos(0.20205514) × R
    0.000191749999999991 × 0.979656215136086 × 6371000     		do = 1196.78648391663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37620879-0.37640054) × cos(0.20186729) × R
    0.000191749999999991 × 0.979693896168297 × 6371000     		du = 1196.83251654456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20205514)-sin(0.20186729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979656215136086-0.979693896168297)×R²
    abs(0.37640054-0.37620879)×3.76810322110233e-05×R²
    0.000191749999999991×3.76810322110233e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.76810322110233e-05×40589641000000     		ar = 1432332.45849517m²