Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18343 / 51834
↖ ↑ ↗
← S 71.736105°
W 79.238891°		 ← 191.42 m → S 71.736105°
W 79.233398°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
S 71.737827°
W 79.238891°		 ← 191.40 m →
36 645 m²		 S 71.737827°
W 79.233398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279899597167969 y=0.790931701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279899597167969 × 216)
    floor (0.279899597167969 × 65536)
    floor (18343.5)     		tx = 18343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790931701660156 × 216)
    floor (0.790931701660156 × 65536)
    floor (51834.5)     		ty = 51834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18343 / 51834 ti = "16/18343/51834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18343/51834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18343 ÷ 216
    18343 ÷ 65536     		x = 0.279891967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51834 ÷ 216
    51834 ÷ 65536     		y = 0.790924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.440216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38297955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.58184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82792985631198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38297955} λ = -1.38297955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82792985631198))-π/2
    2×atan(0.160745990873048)-π/2
    2×0.159382547613266-π/2
    0.318765095226531-1.57079632675     		φ = -1.25203123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38297955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.238891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25203123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.736105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18343 KachelY 51834 -1.38297955 -1.25203123 -79.238891 -71.736105
    Oben rechts KachelX + 1 18344 KachelY 51834 -1.38288368 -1.25203123 -79.233398 -71.736105
    Unten links KachelX 18343 KachelY + 1 51835 -1.38297955 -1.25206128 -79.238891 -71.737827
    Unten rechts KachelX + 1 18344 KachelY + 1 51835 -1.38288368 -1.25206128 -79.233398 -71.737827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25203123--1.25206128) × R
    3.00499999998927e-05 × 6371000     		dl = 191.448549999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25203123--1.25206128) × R
    3.00499999998927e-05 × 6371000     		dr = 191.448549999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38297955--1.38288368) × cos(-1.25203123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313394107199107 × 6371000     		do = 191.417287867279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38297955--1.38288368) × cos(-1.25206128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313365570881852 × 6371000     		du = 191.399858233699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25203123)-sin(-1.25206128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313394107199107-0.313365570881852)×R²
    abs(-1.38288368--1.38297955)×2.85363172546904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85363172546904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85363172546904e-05×40589641000000     		ar = 36644.8937705389m²