Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18342 / 15322
↖ ↑ ↗
← N 11.587669°
E 21.511231°		 ← 1 196.74 m → N 11.587669°
E 21.522217°		 →
↑
1 196.73 m
↓
↑
1 196.73 m
↓
N 11.576907°
E 21.511231°		 ← 1 196.79 m →
1 432 201 m²		 N 11.576907°
E 21.522217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559768676757812 y=0.467605590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559768676757812 × 215)
    floor (0.559768676757812 × 32768)
    floor (18342.5)     		tx = 18342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467605590820312 × 215)
    floor (0.467605590820312 × 32768)
    floor (15322.5)     		ty = 15322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18342 / 15322 ti = "15/18342/15322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18342/15322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18342 ÷ 215
    18342 ÷ 32768     		x = 0.55975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15322 ÷ 215
    15322 ÷ 32768     		y = 0.46759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55975341796875 × 2 - 1) × π
    0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46759033203125 × 2 - 1) × π
    0.0648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.203635949585999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37544180} λ = 0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203635949585999))-π/2
    2×atan(1.2258518003582)-π/2
    2×0.886519655373343-π/2
    1.77303931074669-1.57079632675     		φ = 0.20224298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20224298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.587669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18342 KachelY 15322 0.37544180 0.20224298 21.511231 11.587669
    Oben rechts KachelX + 1 18343 KachelY 15322 0.37563355 0.20224298 21.522217 11.587669
    Unten links KachelX 18342 KachelY + 1 15323 0.37544180 0.20205514 21.511231 11.576907
    Unten rechts KachelX + 1 18343 KachelY + 1 15323 0.37563355 0.20205514 21.522217 11.576907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20224298-0.20205514) × R
    0.000187839999999995 × 6371000     		dl = 1196.72863999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20224298-0.20205514) × R
    0.000187839999999995 × 6371000     		dr = 1196.72863999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37544180-0.37563355) × cos(0.20224298) × R
    0.000191749999999991 × 0.979618501542808 × 6371000     		do = 1196.74041151082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37544180-0.37563355) × cos(0.20205514) × R
    0.000191749999999991 × 0.979656215136086 × 6371000     		du = 1196.78648391663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20224298)-sin(0.20205514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979618501542808-0.979656215136086)×R²
    abs(0.37563355-0.37544180)×3.77135932785322e-05×R²
    0.000191749999999991×3.77135932785322e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.77135932785322e-05×40589641000000     		ar = 1432201.09739536m²