Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18341 / 13855
↖ ↑ ↗
← N 26.755421°
E 21.500244°		 ← 1 090.85 m → N 26.755421°
E 21.511231°		 →
↑
1 090.91 m
↓
↑
1 090.91 m
↓
N 26.745610°
E 21.500244°		 ← 1 090.94 m →
1 190 062 m²		 N 26.745610°
E 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559738159179688 y=0.422836303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559738159179688 × 215)
    floor (0.559738159179688 × 32768)
    floor (18341.5)     		tx = 18341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422836303710938 × 215)
    floor (0.422836303710938 × 32768)
    floor (13855.5)     		ty = 13855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18341 / 13855 ti = "15/18341/13855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18341/13855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18341 ÷ 215
    18341 ÷ 32768     		x = 0.559722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13855 ÷ 215
    13855 ÷ 32768     		y = 0.422821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559722900390625 × 2 - 1) × π
    0.11944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37525005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422821044921875 × 2 - 1) × π
    0.15435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.484929676556488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37525005} λ = 0.37525005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484929676556488))-π/2
    2×atan(1.62406079528073)-π/2
    2×1.01888325709917-π/2
    2.03776651419833-1.57079632675     		φ = 0.46697019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37525005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46697019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.755421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18341 KachelY 13855 0.37525005 0.46697019 21.500244 26.755421
    Oben rechts KachelX + 1 18342 KachelY 13855 0.37544180 0.46697019 21.511231 26.755421
    Unten links KachelX 18341 KachelY + 1 13856 0.37525005 0.46679896 21.500244 26.745610
    Unten rechts KachelX + 1 18342 KachelY + 1 13856 0.37544180 0.46679896 21.511231 26.745610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46697019-0.46679896) × R
    0.000171230000000022 × 6371000     		dl = 1090.90633000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46697019-0.46679896) × R
    0.000171230000000022 × 6371000     		dr = 1090.90633000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37525005-0.37544180) × cos(0.46697019) × R
    0.000191749999999991 × 0.89293635330903 × 6371000     		do = 1090.84609695412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37525005-0.37544180) × cos(0.46679896) × R
    0.000191749999999991 × 0.893013425041148 × 6371000     		du = 1090.94025080715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46697019)-sin(0.46679896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89293635330903-0.893013425041148)×R²
    abs(0.37544180-0.37525005)×7.70717321185721e-05×R²
    0.000191749999999991×7.70717321185721e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.70717321185721e-05×40589641000000     		ar = 1190062.27164839m²